TKO 6-2 DP入门之2084（基本dp之数塔问题）

数塔

Problem Description
在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

Input
输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

Output
对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

Sample Input
1
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output
30

这是一个最最基本的DP题目，如果这个DP掌握不好或者没有感觉，DP相当于没学。

详细解析：
举个例子，如果想知道五层的最大和，
即想要知道dp[0][0]+max(左子树，右子树)，
那么知道max(左子树，右子树)即可；
若果想知道左子树或者右子树的最大和，
那么只要知道他们两个子树的最大值即可。

以此类推，运用地推思想，
写出状态转移方程：

dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i][j-1],dp[i+1][j-1]);

那么，我们将得到一个非常便捷的编程方法：

这是一个最最基本的双数组DP实现方案
//温馨提示： The time limited

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define k 101
int a[k][k];
int dp[k][k];
int f(int x);
int main()
{
int n,m,ret;
while(scanf("%d",&n))
{
memset(a,0,sizeof(a));
memset(dp,0,sizeof(dp));
while(n–)
{
scanf("%d",&m);
for(int i=0;i<m;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
if(m==1)
ret=a[0][0];
else
ret=f(m);
printf("%d\n",ret);
}
}
}
int f(int x)
{
int r;
for(int i=0;i<x;i++)
dp[x-1][i]=a[x-1][i];
for(int i=x-2;i>=0;i–)
{
for(int j=0;j<=i;j++)
{
dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);
r=dp[i][j];
}
}
return r;
}

/令人扫兴的是，这个代码其实是不能ac的，因为他超时乐乐了；
所以我们需要节约运行时间，
参考以下代码，将两个数组合并为一个数组，以此达到目的
AC代码如下：/

#include
#include
//这里用万能头也行
using namespace std;

int main()
{
int m,n;
int i,j;
int num[101][101];
while(cin>>n)
{
while(n–)
{
cin>>m;
for(i=0;i<m;i++)
for(j=0;j<=i;j++)
cin>>num[i][j];
for(i=m-1;i>0;i–)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
num[i][j]=max(num[i][j],num[i][j+1]);
//同行相邻两个比较，直接将数组本身改变，方便下一步操作。
num[i-1][j]+=num[i][j];//大的和前一行的第j个相加
}
}
cout <<num[0][0]<<endl;
}
}
return 0;
}

所以，综上所述DP最重要的还是对于问题的***

分析能力、递推思想和简化问题

***的思想；
其次就是所谓的状态转移方程。
描述的是整个问题本质所透露出来的问题；
反应的也是整个代码的实质和功能。

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