现代谱估计的参数模型

经典谱估计方差性能差，分辨率较低。

方差性能差:无法实现功率谱密度的求均值和求极限

分辨率低:周期图发是假设数据窗之外的均是0，自相关法是延迟窗之外的均为0。

现代谱估计就是为了改善上述问题，参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：

假设所研究的过程x(n)是由一个输入序列u(n)经过一个LTI(linear time invairiable)线性系统H(Z)的输出，如下图1所示：
有x(n)或自相关函数r(m)来估计H(z)的参数
有H(z)来估计功率谱

图1

对于图1，由于系统是线性系统，有如下关系：

-----------(1)

及

----------(2)

把(1)式的x项左移,对两边做Z变换,假设b0=1,有:

----------(3)

式中:

----------(4a)

----------(4b)

----------(4c)

这里引入一个关系式并证明:

如果X(n)为平稳随机信号,经过线性系统H(z)的输出为Y(n),如下:

Y(n)=X(n)*h(n)(*为卷积符号)，则有如下关系式

x. -----------(5)

----------(6)

现证明5式:

式中:

令m+k=l,则有：

于是(5)式得以证明。

对(5)式做傅里叶变换,由于自相关函数和功率谱密度是一个傅里叶变换对,因此，(6)式也得以证明。

现在再回到正题。假设输入序列u是一个方差，有上述(6)式可以得到:

----------(7)

如果激励白噪声的方差和模型参数已知，那么就知道了功率谱。

现在分三种情况来讨论:

如果都是0，那么(1)(3)(7) 就变成了如下表达式:

----------(8)

----------(9)

----------(10)

这种情况下称为自回归(auto-regressive)模型,简称AR模型，这是一个全极点模型(分子不可能为0，无零点，只有分母是由可能为0)。自回归的含义是系统的输出是当前的输入和过去p个输出的加权和。
如果为0，那么(1)(3)(7) 就变成了如下表达式

(b0=1) ----------(11)

---------(12)

----------(13)

这种情况下称为移动平均(moving-average)模型，这是一个全零点模型。
如果都不为0，称为ARMA模型，是一个既有零点又有极点的模型。

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