实对称阵的谱半径是连续函数

矩阵的诱导范数（算子范数）的定义：∣∣A∣∣=sup⁡∣∣x∣∣=1∣∣Ax∣∣||A|| = \sup_{||x|| = 1}||Ax||∣∣A∣∣=∣∣x∣∣=1sup∣∣Ax∣∣其中，||·||可以是任何向量范数，由于该矩阵范数是由向量范数诱导出来的，所以称其为诱导范数。

比如，由向量的 l2l_2l2 范数诱导出来的矩阵范数为：∣∣A∣∣2=λmax(A∗A)||A||_2 =\sqrt{\lambda_{max}(A^*A)}∣∣A∣∣2=λmax(A∗A)证明见博主的另一篇博文。

诱导范数的齐次性和正定性是显然的，下面证明诱导范数是满足三角不等式的：∣∣A+B∣∣≤∣∣A∣∣+∣∣B∣∣||A+B|| \leq ||A||+||B||∣∣A+B∣∣≤∣∣A∣∣+∣∣B∣∣

证明：
∣∣A+B∣∣=sup⁡∣∣x∣∣=1∣∣(A+B)x∣∣=∣∣(A+B)x∗∣∣||A+B|| = \sup_{||x|| = 1}||(A+B)x|| = ||(A+B)x^*||∣∣A+B∣∣=∣∣x∣∣=1sup∣∣(A+B)x∣∣=∣∣(A+B)x∗∣∣则∣∣A∣∣=sup⁡∣∣x∣∣=1∣∣Ax∣∣≥∣∣Ax∗∣∣∣∣B∣∣=sup⁡∣∣x∣∣=1∣∣Bx∣∣≥∣∣Bx∗∣∣||A|| = \sup_{||x|| = 1}||Ax|| \geq ||Ax^*||\\||B|| = \sup_{||x|| = 1}||Bx|| \geq ||Bx^*||∣∣A∣∣=∣∣x∣∣=1sup∣∣Ax∣∣≥∣∣Ax∗∣∣∣∣B∣∣=∣∣x∣∣=1sup∣∣Bx∣∣≥∣∣Bx∗∣∣故∣∣A+B∣∣≤∣∣A∣∣+∣∣B∣∣||A+B|| \leq ||A||+||B||∣∣A+B∣∣≤∣∣A∣∣+∣∣B∣∣

我们来证明矩阵 A 的任意诱导范数都不小于其谱半径：∣∣A∣∣≥ρ(A),   ∀A∈Rn×n||A||\geq \rho(A), \;\;\;\forall A \in \R^{n\times n}∣∣A∣∣≥ρ(A),∀A∈Rn×n

证明：
由诱导范数定义得：∣∣A∣∣≥∣∣Ax∣∣∣∣x∣∣,   ∀x∈Rn||A|| \geq \frac{||Ax||}{||x||}, \;\;\;\forall x \in \R^n∣∣A∣∣≥∣∣x∣∣∣∣Ax∣∣,∀x∈Rn对谱半径 ρ(A)=∣λ∗∣\rho(A) = |\lambda^*|ρ(A)=∣λ∗∣，有 Ax∗=λ∗x∗Ax^* = \lambda^*x^*Ax∗=λ∗x∗，所以∣∣A∣∣≥∣∣Ax∗∣∣∣∣x∗∣∣=∣∣λ∗x∗∣∣∣∣x∗∣∣=∣λ∗∣=ρ(A)||A|| \geq \frac{||Ax^*||}{||x^*||} = \frac{||\lambda^*x^*||}{||x^*||} = |\lambda^*| = \rho(A)∣∣A∣∣≥∣∣x∗∣∣∣∣Ax∗∣∣=∣∣x∗∣∣∣∣λ∗x∗∣∣=∣λ∗∣=ρ(A)

下面我们来证明实对称阵的谱半径是矩阵元素的连续函数：

当对称矩阵 A 的元素发生微小的变化，即施加一个小扰动 E，则有ρ(A+E)≤∣∣A+E∣∣2≤∣∣A∣∣2+∣∣E∣∣2=ρ(A)+∣∣E∣∣2\rho(A+E) \leq ||A+E||_2 \leq ||A||_2 + ||E||_2 = \rho(A) + ||E||_2ρ(A+E)≤∣∣A+E∣∣2≤∣∣A∣∣2+∣∣E∣∣2=ρ(A)+∣∣E∣∣2所以ρ(A+E)−ρ(A)≤∣∣E∣∣2=λmax(ETE)\rho(A+E)-\rho(A) \leq ||E||_2=\sqrt{\lambda_{max}(E^TE)}ρ(A+E)−ρ(A)≤∣∣E∣∣2=λmax(ETE)由于 E 是微小的扰动，可知 ETEE^TEETE 的元素是充分小的，进而由圆盘定理可知，ETEE^TEETE 的所有特征值都是充分小的，可得 ρ(A)\rho(A)ρ(A) 的变化也是充分小的。证明谱半径是矩阵元素的连续函数。

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