luoguP3625 APIO2009 采油区域

题面

题解

套路题。

我第一想法是设f[i][j][k]f[i][j][k]f[i][j][k]为(1,1)−(i,j)(1,1)-(i,j)(1,1)−(i,j)的矩阵里，选了k个子矩阵，且最后一个矩阵的右下角为(i,j)(i,j)(i,j)，转移就是f[i][j][k]=max(f[a][b][k−1])+dat(i−k+1,j−k+1,i,j)f[i][j][k]=max(f[a][b][k-1])+dat(i-k+1,j-k+1,i,j)f[i][j][k]=max(f[a][b][k−1])+dat(i−k+1,j−k+1,i,j)，复杂度是O(N2M2K)O(N^2M^2K)O(N2M2K)，很明显过不了。

所以利用k只有3的特性。

如果k只有1，我们可以直接一遍O(N2)O(N^2)O(N2)扫描一遍。

如果k只有2，那么利用两端向中间搜索的方法，可以知道两个矩阵要么一上一下，要么一左一右，所以可以分放在两个区域内，只需要分析两个区域的k=1的方案即可。而划分区域的复杂度是枚举划分线的复杂度，即O(N)O(N)O(N)，预处理区域内最优解的复杂度是O(N2)O(N^2)O(N2)，最终复杂度依然是O(N2)O(N^2)O(N2)

那么当k=3时，仍然只有如下6种划分方案，枚举划分方案的复杂度为O(N2)O(N^2)O(N2)，预处理区域内最优解的复杂度为O(N2)O(N^2)O(N2)，复杂度依然为O(N2)O(N^2)O(N2)

那么以此类推，k=4时，有24种划分方案（我不知道，瞎猜的，但肯定是有限种），但是枚举划分方案的复杂度是O(N3)O(N^3)O(N3)，预处理区域内最优解的复杂度为O(N2)O(N^2)O(N2)，可以做到O(N3)O(N^3)O(N3)

这个方法到k=5就出问题了，因为有可能存在一个正方形，无法找到一种划分方法，使每个矩形只落在一个区域里，且预处理做到O(N2)O(N^2)O(N2)，有一个正方形可能在正中心，所在区域无法被分在一个靠边的位置，这时候预处理复杂度就成O(N4)O(N^4)O(N4)了，划分的复杂度也达到O(N4)O(N^4)O(N4)，初步想法O(N2M2K)O(N^2M^2K)O(N2M2K)的DP就比这个方法快了。

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