lucas定理（学习笔记）

1. lucas定理
lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。
C(n, m) % p = C(n / p, m / p) * C(n % p, m % p) % p
也就是Lucas(n, m) % p = Lucas(n / p, m / p) * C(n % p, m % p) % p
n = n % p, m = m = m % p
C(n % p, m % p) % p = C(n, m) % p
C(n, m)%p = n! / (m ! * (n - m )!) % p
化除为乘
n! / (m ! * (n - m )!) % p = n! / (n - m)! * m!的逆元 % p
2.逆元
1).什么是逆元
当求解公式(a / b) % m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法:
设c是b的逆元，则有b * c ≡ 1(mod m);
则(a / b) % m = (a / b) * 1 % m = (a / b) * b * c % m = a * c(mod m);
2).逆元的求法
①费马小定理:如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a ^ (p - 1) ≡ 1(mod p)
所以a的逆元为a^(p - 2)
②扩展欧几里得

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{if(!b)  { d = a, x = 1, y=0;else {  gcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b);  }
}

3.模板

int fast_pow(int a, int n, int m)
{if(n == 0) return 1;long long ans = 1;int x = fast_pow(a, n / 2, m);ans = (long long)x * x % m;if(n % 2) ans = ans * a % m;return (int) ans;
}int C(int a, int b, int mod)
{if(a < b) return 0;if(a == b) return 1;if(b > a - b) b = a - b;long long ca = 1, cb = 1;for(int i = 0; i < b; i++){ca = (ca * (a - i)) % mod;cb = (cb * (b - i)) % mod;}ca = (ca * fast_pow(cb, mod - 2, mod)) % mod;return (int)ca;
}int lucas(int n, int m, int mod)
{long long ans = 1;while(n && m && ans){ans = (ans * C(n % mod, m % mod, mod)) % mod;n /= mod;m /= mod;}return (int)ans;
}

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