数据结构分析：红黑树、B+树

前言

常见的数据结构大概分为以下8种，作为一个开发人员，数据结构是内功之一。本文参考了网络上相关知识，加之自己的理解。简单说明红黑树、B+树的特性。

1. 二叉搜索树(Binary Search Tree，简称BST)

介绍红黑树之前先介绍下二叉搜索树的特点：

左子树不为空，则左子树上结点值小于根结点
右子树不为空，则右子树上结点值大于根结点
子树同样也要遵循以上两点

极端情况会退化成链表；时间复杂度就是树的深度O(n)。

所有就有了平衡的二叉查找树。

AVL树：平衡二叉树，它的左右子树高度之差不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。时间复杂度O(logn)。

2. 红黑树(Red-Black Tree，以下简称RBTree)

红黑树是一种自平衡的二叉查找树（二叉搜索树、二叉排序树），高效的查找算法数据结构，特殊的二叉树。

性质：

每个结点不是红色就是黑色，
根结点是黑色，
每个叶子结点（NIL）都是黑色的空结点，
从根结点到叶子结点，不会出现两个连续的红色结点，
从任何一个结点出发到叶子结点，这条路径上都有相同数目的黑色结点。

为了满足这些性质，因此需要变颜色，旋转。旋转和颜色变换规则：所有插入的点默认为红色，只有这样数据结构才会变化。

变颜色情况：

如果当前结点的父亲是红色，且它的祖父结点的另一个子结点(叔叔结点)也是红色，则：

把父结点设为黑色，
叔叔结点设为黑色，
把祖父结点设为红色，
指针指向祖父结点。

下面左旋、右旋规则前提：

新结点(当前插入结点)、父结点、祖父结点在同一条斜线上适用下面规则。如不在一条斜线，hashmap红黑树源码是先做一次旋转，达到一条斜线，再左旋或右旋。

举例说明

左旋：

当前父结点是红色，叔叔是黑结点或空结点的时候，且当前的结点是右子树。左旋，则：

父结点变黑色；
祖父结点变红色；
以祖父结点旋转。

网图：左旋

右旋：

当前父结点是红色，叔叔是结点或空结点的时候，且当前的结点是左子树。右旋，则：

把父结点变为黑色，
把祖父结点变为红色，
以祖父结点旋转。

网图：右旋

下图是我用processon画的插入过程，需要原图的可私我拿走。

随机选了几个数字模拟插入过程；根结点是没有父结点的，入度为0。先插入20，若根结点为空，那么插入结点20作为根结点；再插入10，从根结点找，比20小，查找20的左子树，为空，则插入。查找插入位置同二叉搜索树一样，找到后插入，再看是否需要变颜色或者旋转，防止退化成链表。

原创：可点击放大

红黑树删除操作

删除叶子结点:
- 红色结点直接删除 ①
- 黑色叶子结点，做删除平衡操作：
  - 兄弟结点是红色，则兄弟结点必有两个黑色子结点。② [以兄弟结点这条线旋转，变色，替补删除的结点]
  - 兄弟结点是黑色：
    - 有子结点，子结点必为红色。③ [以兄弟结点这条线旋转，变色，完成平衡操作]
    - 没子结点。④ [兄弟结点变红，父结点变黑，指针指向父结点递归完成平衡]
删除非叶子结点:
- 有一个子结点，子结点必为红色。⑤ [用子结点替换后做平衡操作]
- 有两个子结点则找后继结点(大于当前结点的最小结点)。⑥ [找到后继结点，作为替换结点，此时就变成了删除叶子结点的情况]

图①

图②

图③

图④

图⑤

图⑥

JDK HashMap红黑树源码

为了简单分析，微调了部分代码，删除了部分代码：

    static final class TreeNode<K extends Comparable<K>> {K key;TreeNode<K> parent;  // red-black tree linksTreeNode<K> left;TreeNode<K> right;boolean red;TreeNode(K key) {this.key = key;}TreeNode getLeft() {return this.left;}TreeNode getRight() {return this.right;}boolean isColor() {return !this.red;}K getValue(){return key;}/*** Returns root of tree containing this node.*/final TreeNode<K> root() {for (TreeNode<K> r = this, p;;) {if ((p = r.parent) == null)return r;r = p;}}/*** 查找结点是否存在* @param key* @param p 初始传入root结点查询* @return*/final TreeNode find(TreeNode p, Object key) {if (p == null) {return null;}int k = p.key.compareTo(key);if (k > 0) {p = find(p.left, key);}else if (k < 0) {p = find(p.right, key);}return p;}/*** 插入结点* @param key* @return*/final TreeNode insert(TreeNode root, int key) {if (root == null) {return null;}TreeNode p = new TreeNode(key);while (true) {int k = root.key.compareTo(key);if (k > 0) {if (root.left == null) {p.parent = root;root = root.left = p;break;}root = root.left;}else if (k < 0) {if (root.right == null) {p.parent = root;root = root.right = p;break;}root = root.right;}else {break;}}return root;}/*** 红黑树插入平衡* @param root* @param x* @return*/static TreeNode balanceInsertion(TreeNode root, TreeNode x) {//默认插入为红色x.red = true;//xp: 当前结点父节点 xpp：当前结点爷爷结点 xppl: 当前结点左叔叔节点 xppr: 当前结点右叔叔节点for (TreeNode xp, xpp, xppl, xppr;;) {//x结点父结点为空，说明当前x结点是根结点，根节点是黑色。if ((xp = x.parent) == null) {x.red = false;return x;}//xp结点为黑色，说明插入当前结点不会破坏红黑树性质，直接返回根节点//xp结点为红色的情况，则xp的父结点xpp不可能为空，假如为空，说明xp为红色的根结点，这样不符合红黑树性质。 这里如果说的不对请指出else if (!xp.red || (xpp = xp.parent) == null) {return root;}//判断条件：当前父结点为爷爷结点的左子树，大家可以画个图，贼清晰if (xp == (xppl = xpp.left)) {//当前结点x的爷爷结点xpp 的右子树xppr不为空，并且为红色结点，则变颜色。根据我上面写的变色规则，如果当前结点父亲和叔叔结点//都是红色，则变色。父亲和叔叔结点变黑，爷爷结点变红，指针指向爷爷结点if ((xppr = xpp.right) != null && xppr.red) {xppr.red = false;xp.red = false;xpp.red = true;x = xpp;}//这里有两种情况//1.xppr结点为空，为空则xp结点两个子结点一个为空，一个为当前结点x, x可能在左子树或右子树//2.如果xppr为黑色结点，则xp结点两个子结点一个为黑色结点，一个为当前结点x, x可能在左子树或右子树else {//如果当前结点为xp父结点的右节点，则左旋 (先左旋，再右旋)//如果当前结点为xp父结点的左结点 (少一步左旋操作，直接右旋)if (x == xp.right) {//左旋root = rotateLeft(root, x = xp);//xpp = (xp = x.parent) == null ? null : xp.parent;}//两个红节点，右旋if (xp != null) {//将父结点变黑xp.red = false;if (xpp != null) {//爷爷结点变红xpp.red = true;//右旋root = rotateRight(root, xpp);}}}}else {if (xppl != null && xppl.red) {xppl.red = false;xp.red = false;xpp.red = true;x = xpp;}else {//先右旋，再左旋if (x == xp.left) {root = rotateRight(root, x = xp);xpp = (xp = x.parent) == null ? null : xp.parent;}if (xp != null) {xp.red = false;if (xpp != null) {xpp.red = true;root = rotateLeft(root, xpp);}}}}}}/*** 左旋* @param root* @param p* @return*/static TreeNode rotateLeft(TreeNode root, TreeNode p) {//当前旋转的结点为p, 定义r为当前结点的右子结点，pp为当前p结点的父结点，rl为r结点的左结点TreeNode r, pp, rl;//左旋提前是当前结点不为空，且当前结点的右子节点不为空if (p != null && (r = p.right) != null) {//r结点左子结点rl不为空，则rl的父结点指向pif ((rl = p.right = r.left) != null) {rl.parent = p;}//如果p的父结点为空，说明p是根节点，左旋后，r为根结点，则r的颜色涂黑if ((pp = r.parent = p.parent) == null) {(root = r).red = false;}//如果p的父结点不为空，且p结点为pp的左子结点，则pp的左子树指向relse if (pp.left == p) {pp.left = r;}//p结点为pp的右子结点，pp的右子树指向relse {pp.right = r;}//r的左子树指向pr.left = p;//p的父结点指向rp.parent = r;}return root;}/*** 右旋* @param root* @param p* @return*/static TreeNode rotateRight(TreeNode root, TreeNode p) {//当前旋转的结点为p, 定义l为当前结点的左子结点，pp为当前p结点的父结点，lr为l结点的右结点TreeNode l, pp, lr;//右旋提前是当前结点不为空，且当前结点的左子节点不为空if (p != null && (l = p.left) != null) {//l结点右子结点lr不为空，则lr的父结点指向pif ((lr = p.left = l.right) != null) {lr.parent = p;}//如果p的父结点为空，说明p是根节点，右旋后，l为根结点，则l的颜色涂黑if ((pp = l.parent = p.parent) == null) {(root = l).red = false;}//如果p的父结点不为空，且p结点为pp的右子结点，则pp的右子数指向lelse if (pp.right == p) {pp.right = l;}//p结点为pp的左子结点，pp的左子树指向relse {pp.left = l;}//l的右子树指向pl.right = p;//p的父结点指向lp.parent = l;}return root;}/*** 删除节点p* @param root* @param p*/final TreeNode removeTreeNode(TreeNode root, TreeNode p) {//定义当前删除结点为p, pl为p的左结点，pr为p的右结点， replacement为替代结点TreeNode<K> pl = p.left, pr = p.right, replacement;//左结点和右结点都不为空if (pl != null && pr != null) {TreeNode<K> s = pr, sl;while ((sl = s.left) != null){// find successor 找后继结点s = sl;}// swap colors 交换后继结点和p结点颜色boolean c = s.red; s.red = p.red; p.red = c;TreeNode<K> sr = s.right;TreeNode<K> pp = p.parent;if (s == pr) {//p是后继结点s的父结点，则p的父结点指向s, s右节点指向pp.parent = s;s.right = p;}else {//此时sp == pr, 改变s和p的指针TreeNode<K> sp = s.parent;if ((p.parent = sp) != null) {if (s == sp.left) {sp.left = p;} else {sp.right = p;}}if ((s.right = pr) != null) {pr.parent = s;}}//p之前关联的左结点指向空p.left = null;if ((p.right = sr) != null) {sr.parent = p;}//改变pl的父结点，从p变为sif ((s.left = pl) != null) {pl.parent = s;}//s父结点不为空，则看p是在左结点还是右节点，替换成sif ((s.parent = pp) == null) {root = s;}else if (p == pp.left) {pp.left = s;}else {pp.right = s;}//后继结点的右结点sr不为空，则sr为替代结点，否则后继结点为替代结点if (sr != null) {replacement = sr;}else {replacement = p;}}//如果左结点pl或pr不为空，则pl或pr为红色结点else if (pl != null) {replacement = pl;}else if (pr != null) {replacement = pr;}//替代结点为待删除结点p, 也就是叶子结点//叶子结点分两种情况：红色，黑色else {replacement = p;}//替代结点不等于当前结点，则分离当前结点，当前结点父结点指向替代结点if (replacement != p) {TreeNode<K> pp = replacement.parent = p.parent;if (pp == null) {root = replacement;}else if (p == pp.left) {pp.left = replacement;}else {pp.right = replacement;}p.left = p.right = p.parent = null;}//如果待删除结点为黑色结点，则进行删除平衡操作TreeNode<K> r = p.red ? root : balanceDeletion(root, replacement);// detachif (replacement == p) {//删除结点为替换结点，则分离TreeNode<K> pp = p.parent;p.parent = null;if (pp != null) {if (p == pp.left) {pp.left = null;}else if (p == pp.right) {pp.right = null;}}}return r;}/*** 红黑树删除平衡* @param root* @param x 替代结点* @return*/static TreeNode balanceDeletion(TreeNode root, TreeNode x) {//定义x为当前结点，xp为x的父结点，xpl为父结点的左子结点，xpr为父结点的右子结点for (TreeNode xp, xpl, xpr;;) {if (x == null || x == root) {return root;}else if ((xp = x.parent) == null) {x.red = false;return x;}//如果x为红色结点，涂黑else if (x.red) {x.red = false;return root;}//x为父结点的左子结点else if ((xpl = xp.left) == x) {//父结点的右结点不为空且为红色结点if ((xpr = xp.right) != null && xpr.red) {//父结点变红，父结点的右结点变黑，以父结点左旋xpr.red = false;xp.red = true;root = rotateLeft(root, xp);TreeOperation.show(root);//改变指针，上面旋转后xpr变成了xp的父结点，所以xpr的结点重新指向xpr = (xp = x.parent) == null ? null : xp.right;}if (xpr == null) {x = xp;}else {//此时xpr为x的兄弟结点，判断兄弟结点的左右子结点是否为空或为黑色结点，//如满足，则兄弟结点变红，指针指向父结点，以父结点为x结点继续做删除平衡操作TreeNode sl = xpr.left, sr = xpr.right;if ((sr == null || !sr.red) && (sl == null || !sl.red)) {xpr.red = true;x = xp;}else {if (sr == null || !sr.red) {if (sl != null) {//x兄弟结点右孩子为空或为黑色结点，且左孩子不为空，则涂黑sl.red = false;}//x兄弟结点变红，以兄弟结点右旋xpr.red = true;root = rotateRight(root, xpr);TreeOperation.show(root);//改变xp的右指针，xpr指向sl结点xpr = (xp = x.parent) == null ? null : xp.right;}//x的兄弟结点xpr修改成父结点的颜色，右子结点不为空变黑，父结点变黑，以父结点左旋if (xpr != null) {xpr.red = (xp == null) ? false : xp.red;if ((sr = xpr.right) != null) {sr.red = false;}}if (xp != null) {xp.red = false;root = rotateLeft(root, xp);TreeOperation.show(root);}x = root;}}}else {if (xpl != null && xpl.red) {xpl.red = false;xp.red = true;root = rotateRight(root, xp);TreeOperation.show(root);xpl = (xp = x.parent) == null ? null : xp.left;}if (xpl == null) {x = xp;}else {TreeNode sl = xpl.left, sr = xpl.right;if ((sl == null || !sl.red) && (sr == null || !sr.red)) {xpl.red = true;x = xp;}else {if (sl == null || !sl.red) {if (sr != null) {sr.red = false;}xpl.red = true;root = rotateLeft(root, xpl);TreeOperation.show(root);xpl = (xp = x.parent) == null ? null : xp.left;}if (xpl != null) {xpl.red = (xp == null) ? false : xp.red;if ((sl = xpl.left) != null) {sl.red = false;}}if (xp != null) {xp.red = false;root = rotateRight(root, xp);}x = root;}}}}}}

本地打印红黑树插入:

本地打印红黑树删除：

总结：

红黑树的复杂之处在于删除，删除需要变色，旋转来保持树的平衡。所以删除大概理解为：

红色叶子结点直接删除
黑色叶子结点则从兄弟结点借，兄弟结点有子结点，可借，通过旋转变色完成；兄弟结点没子结点，则递归父类做平衡
非叶子结点则找后继结点作为替换结点，就变成了叶子结点的删除。

B+树放在下一篇分析。(文中不对之处请指出，谢谢)

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数据结构分析：红黑树、B+树

数据结构分析：红黑树、B+树

前言

1. 二叉搜索树(Binary Search Tree，简称BST)

2. 红黑树(Red-Black Tree，以下简称RBTree)

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红黑树删除操作

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总结：

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