国家开放大学2021春1079高等代数专题研究题目
教育
教育
试卷代号:1079
2021年春季学期期末统一考试
高等代数专题研究 试题
2021年7月
一、单项选择题(本题共20分,每小题4分)
1.下列运算中,( )是有理数域Q上的代数运算.
A.a。b=a B.a。b=b
C.a。b=ab D.a。b=a
2.按通常数的加法与乘法,复数域C可以看成实数域R上的线性空间,则它的维教是( ).
A.0 B.1
C.2 D.无限
3.矩阵A与B相似的充分必要条件是( ).
A.A与B的特征多项式相等 B.A与B的行列式相等
C.A与B的秩相等 D.存在可逆矩阵T,使T-1AT = B
4.设A是正交矩阵,则下列选项中错误的是( ).
A.A2=E
B.AT=A-1
C.A的每一行的元素的平方和等于1
D.A的不同行的对应元素乘积之和等于O
5.设A是n阶实对称矩阵,则A是正定的充分必要条件是( ).
A.A的行列式大于零
B.存在矩阵C,使得A=CTC
C.A的特征值全为正
D.存在n维非零向量X,使得XTAX>O
二、填空题(本题共20分,每小题4分)
6.实数域上的不可约多项式的次数是 次的.
7.向量组a=(0,O,1),β=(0,1,2),γ=(a,3,5)线性相关,则a = .
8.设A是线性空间V的线性变换,则A的属于不同特征值的特征向量线性
_________________________.
9.设σ是欧氏空间V的对称变换,则σ在V的标准正交基下的矩阵是 .
10.线性空间V上的双线性函数f(α,β)在不同基下的度量矩阵 .
三、计算题(本题共45分,每小题15分)
11.设R3的线性变换σ定义如下:σ(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x2-x3,x2+x3),求σ在基ε1=(1,O,O),ε2=(0,1,0),ε3=(0,O,1)下的矩阵.
12.设A=,求一个正交矩阵T,使T -1AT = T TAT为对角矩阵.
13.求λ取何值时,下面的实二次型是正定的
f(x1,x2,x3)= +4+4+2λx1x3-2x1x3+4x2x3.
四、证明题(本题15分)
14.设,f(x),g(x)是数域P上的一元多项式,且f(x),g(x)=1,证明:
(f(x)·f(x)+g(x))=1.
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