线性代数同济第六版笔记：1-行列式

2 全排列和对换

一、排列及其逆序数

标准次序：例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序。
逆序数：当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
奇排列：逆序数为奇数的排列叫做奇排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

二、对换

对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。
相邻对换：将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.

3 n阶行列式的定义

主对角线以下（上）的元素都为0 的行列式叫做上（下）三角形行列式。
主对角线以下和以上的元素都为0 的行列式叫做对角行列式。

4 行列式的性质

性质1：行列式与它的转置行列式相等.
性质2：对换行列式的两行（列），行列式变号.
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式.（记作ri×kr_i ×k（或ci×kc_i×k））.
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.（记作ri÷k（或ci÷k）r_i÷k （或c_i÷k））.
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和：

D=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a11⋮ai1+a‘i1⋮an1a12⋮ai2+a‘i2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain+a‘in⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

D= \left(\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1}+a^`_{i1} &a_{i2}+a^`_{i2} &\cdots & a_{in}+a^`_{in}\\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{array}\right)
则D等于下列2个行列士只和：
D=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a11⋮a‘i1⋮an1a12⋮a‘i2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮a‘in⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ D= \left( \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1} &a_{i2}&\cdots & a_{in}\\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\\vdots & \vdots & & \vdots \\a^`_{i1} &a^`_{i2} &\cdots & a^`_{in}\\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{array} \right)
性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对
应的元素上去，行列式不变.

5 行列式按行（列）展开

余子式：在n 阶行列式中，把（i，j）元aija_{ij}所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元aija_{ij}的余子式，记作MijM_{ij}。
代数余子式：Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}，AijA_{ij}叫做（i，j）元aija_{ij}的代数余子式.
引理：一个n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元aija_{ij}外都为零，那么这行列式等于aija_{ij}与它的代数余子式的乘积，即
D=aijAij

D=a_{ij}A_{ij}
定理2：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin(i=1,2,⋯,n)

D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} (i=1,2,\cdots,n)
或

D=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj(j=1,2,⋯,n)

D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj} (j=1,2,\cdots,n)
这个定理叫做行列式按行（列）展开法则。
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式
乘积之和等于零.即

ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0,i≠j

a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i\not=j
或

a1iAj1+a2iA2j+⋯+aniAnj=0,i≠j

a_{1i}A_{j1}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0,i\not=j
综合定理2及其推论，有关于代数余子式的重要性质：

∑k=1nakiAkj={D，当i=j,0，当i≠j

\sum_{k=1}^na_{ki}A_{kj}=\begin{cases}D，当i=j,\\0，当i\not=j\end{cases}
或

∑k=1naikAjk={D，当i=j,0，当i≠j

\sum_{k=1}^na_{ik}A_{jk}=\begin{cases}D，当i=j,\\0，当i\not=j\end{cases}

线性代数同济第六版笔记：1-行列式相关推荐

线性代数同济第六版_线性代数考试内容与课后习题
2021 线性代数复习要点+课后习题重要链接唐老师告诉大家7月份前我们怎么做高数第十二章考试内容与课后习题(内有高数第一到十一章的链接) 一.复习要点与课后习题 <线性代数>同 ...
线性代数第五版吉尔伯特课后答_线性代数同济第五版第六章课后习题答案！
搜集 | 整理 | 测试 | @小愉免责声明:以下资源或软件均来自互联网,仅供学习和交流使用,如有侵权请联系删除,请勿用于商业和非法途径等,如有法律纠纷与本人无关! 本文未经允许,不得转载! 适用 ...
医学统计学第六版笔记
笔记一直在整理,先来更一版目录第一章绪论第二章定量数据的统计描述第三章正态分布与医学参考值范围第四章定性数据的统计描述第五章统计表与统计图第六章参数估计与假设检验第七章 t ...
线性代数第五版吉尔伯特课后答_线性代数同济第五版第四章课后习题答案！
搜集 | 整理 | 测试 | @小愉免责声明:以下资源或软件均来自互联网,仅供学习和交流使用,如有侵权请联系删除,请勿用于商业和非法途径等,如有法律纠纷与本人无关! 本文未经允许,不得转载! 适用 ...
数据库系统概念第六版笔记
Abraham Siberschatz Henry E Korth S.Sudarshan 杨冬青李红艳唐世渭等译. 华章一套书的标志性语言是: 文艺复兴以降,源远流长的科学精神和逐步形成的学术规 ...
【课后习题】线性代数第六版第一章行列式习题一
习题一 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) ∣ 2 0 1 1 − 4 − 1 − 1 8 3 ∣ \left|\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1 \ ...
高等数学同济六版中函数运算一节例题的分析
在高等数学同济第六版教材中,函数运算一节,有一道例题,引起了我及很多人的困扰,原题如下: 该题目教材中的原解如下: 实际上,教材已经说得很清楚了,只不过我们由于思维惯性,误解了教材内容,具体分析如下: ...
高等数学·同济七版+线性代数第六版+概率论与数理统计第四版（教材+辅导）
教材加辅导内容简介 <高等数学>第7版是普通高等教育"十二五"国家级规划教材,在第6版的基础上作了进一步的修订.版教材在保留原教材结构严谨,逻辑清晰.叙述详细.通俗易 ...
C++Primer Plus （第六版）阅读笔记 + 源码分析【目录汇总】
C++Primer Plus (第六版)阅读笔记 + 源码分析[第一章:预备知识] C++Primer Plus (第六版)阅读笔记 + 源码分析[第二章:开始学习C++] C++Primer Plu ...
PMBOK(第六版) PMP笔记——《十一》第十一章（项目风险管理）
PMBOK(第六版) PMP笔记--<十一>第十一章(项目风险管理) 第十一章风险管理: 项目的独特性导致项目充满风险,项目风险是一种不确定的事件或条件,可能发生.将要发生,也可能不发 ...

线性代数同济第六版笔记：1-行列式

2 全排列和对换

一、排列及其逆序数

二、对换

3 n阶行列式的定义

4 行列式的性质

5 行列式按行（列）展开

线性代数同济第六版笔记：1-行列式相关推荐

最新文章

热门文章