每日一题/015/tr(AB)=tr(BA)/反对称矩阵的充要条件/如果 AA‘=-A^2,那么是反对称矩阵

题目：
证明 A\boldsymbol{A}A 是反对称矩阵的充要条件是 AA′=−A2\boldsymbol{AA}'=-\boldsymbol{A}^2AA′=−A2

参考答案：

必要性显然
先介绍两个引理，然后再给出充分性的证明

引理一：

tr(AB)=tr(BA)\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})tr(AB)=tr(BA)

证明：

(AB)ii=∑j=1naijbji(\boldsymbol{AB})_{ii}=\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}\\ (AB)ii=j=1∑naijbji

则

tr(AB)=∑i=1n(AB)ii=∑i=1n∑j=1naijbji\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB})=\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{AB})_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}tr(AB)=i=1∑n(AB)ii=i=1∑nj=1∑naijbji

同理

tr(BA)=∑i=1n(BA)ii=∑i=1n∑j=1nbijaji=∑i=1n∑j=1najibij=∑j=1n∑i=1naijbji=∑i=1n∑j=1naijbji=tr(AB)\begin{aligned} \mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})=\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{BA})_{ii}&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{ij}a_{ji}\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ji}b_{ij}\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^na_{ij}b_{ji}\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}=\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB}) \end{aligned}tr(BA)=i=1∑n(BA)ii=i=1∑nj=1∑nbijaji=i=1∑nj=1∑najibij=j=1∑ni=1∑naijbji=i=1∑nj=1∑naijbji=tr(AB)
证毕

引理二：

矩阵 A\boldsymbol{A}A 为对称矩阵，且 A2=0\boldsymbol{A}^2=0A2=0,那么 A=0\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}A=0

证明：

(A2)ii=∑j=1naijaji=∑j=1naij2=0(\boldsymbol{A}^2)_{ii}=\sum_{j=1}^na_{ij}a_{ji}=\sum_{j=1}^na_{ij}^2=0(A2)ii=j=1∑naijaji=j=1∑naij2=0

这说明 A\boldsymbol{A}A 的第 iii 行都为零，继而得到 A\boldsymbol{A}A 的每一行都为零，从而A=0\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}A=0

下面我们再来证明原命题的充分性

因为 A2=−AA′\boldsymbol{A}^2=-\boldsymbol{AA}'A2=−AA′,两边取转置，得到 A′2=−AA′\boldsymbol{A}'^2=-\boldsymbol{AA}'A′2=−AA′

(A+A′)2=A2+A′2+AA′+A′A=−AA′−AA′+AA′+A′A=A′A−AA′\begin{aligned} (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}')^2&=\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}'^2+\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'+\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}\\ &=-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'+\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}'+\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}\\ &=\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}' \end{aligned}(A+A′)2=A2+A′2+AA′+A′A=−AA′−AA′+AA′+A′A=A′A−AA′

tr((A+A′)2)=tr(A′A−AA′)=tr(A′A)−tr(AA′)=0\begin{aligned} \mathrm{tr}\left((\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}')^2\right)&=\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}')\\ &=\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}'\boldsymbol{A})-\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}')=0 \end{aligned}tr((A+A′)2)=tr(A′A−AA′)=tr(A′A)−tr(AA′)=0

最后一步是根据引理一得到的

又因为 B=(A+A′)\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}')B=(A+A′) 是对称矩阵，tr(B2)=0\mathrm{tr}(\boldsymbol{B}^2)=0tr(B2)=0,所以 B=0\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}B=0,所以 A=−A′\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}'A=−A′, A\boldsymbol{A}A 为反对称矩阵