洛谷3374：树状数组1（线段树/树状数组模板）

题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
将某一个数加上x
求出某区间每一个数的和
输入格式
第一行包含两个正整数 n,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含n个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来m行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x k 含义：将第x个数加上k

2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例
输入：
5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4
输出：
14
16

提示：
对于100%的数据，1≤n,m≤5×10^5

分析：首先可以知道最暴力的求解方法的复杂度是O(mn)，对于100%的数据是必然超时的，因此引入了线段树：

对于一个区间[1,n]的数，我们可以做出一个二叉树的模型，根结点就是区间[1,n]这个线段，那么其左孩子和右孩子分别就是[1,n/2]和[n/2+1,n]，依次类推，直到线段（结点）就是一个点为止，即叶子结点，我们需要实现这样的建树。
这里的建树，我们可以用完全二叉树来比拟，对于一个完全二叉树，我们已知它的性质：
①某个父结点标号为k，则其左孩子的标号为2k，右孩子的标号就为2k+1，因此我们可以轻松推出。
②一个完全二叉树的高度为[log(n+1)]（底数为2），其中n指结点的个数。
对于一个以[1,n]为根结点的线段树，其高度可能是[log(n+1)]（底数为2）（比如n=1时），可能是[log(n+1)+1]（底数为2）（比如n=2）。那么由高度反向推出结点个数最大为2^(log(n+1)+1)<2^(logn+2)（数学的放缩），因此高度h<2^(logn+2)=4*2^logn=4n，可以知道对于最大为n的数组，其结点的个数一定不超过4n，这样就明确了树状数组要开的大小了。
明确了这一点，需要的就是建树和执行题目描述的两个操作了，肯定都需要利用递归的操作的，并且都使用二分，这题就不会超时。
假设n为5，那么其根结点为[1,5]，左右孩子为[1,3]，[4,5]。[1,3]的左右孩子分别为[1,2]，[3,3]，然后[1,2]再细分。假如对下标为3的元素加上y，那么在线段树内[3,3]，[1,3]，[1,5]都需要加上y，因为都包含了下标3。

线段树代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5;
int n,m,a[maxn+1],f[4*maxn+1];//a数组用来存数，f数组用来计算处理后的值
void buildtree(int k,int l,int r){if(l==r){f[k]=a[l];return;}//叶子结点，一个线段就是一个点int mid=(l+r)>>1;//二分，也可以用/2，但是>>1的效率更高buildtree(k+k,l,mid);//左孩子buildtree(k+k+1,mid+1,r);//右孩子f[k]=f[k+k]+f[k+k+1];//父结点的值是两个孩子的值之和
}
void add(int k,int l,int r,int x,int y){f[k]+=y;if(l==r)return;int mid=(l+r)>>1;if(x<=mid)add(k+k,l,mid,x,y);//下标在左子树上else add(k+k+1,mid+1,r,x,y);//下标在右子树上
}
int calc(int k,int l,int r,int s,int t){//在区间l，r中找到s，t区间，得到线段值if(l==s&&r==t)return f[k];//找到了int mid=(l+r)>>1;if(t<=mid)//明显要找的区间在l,r区间的左子树上return calc(k+k,l,mid,s,t);elseif(s>mid)//要找的区间在l,r区间的右子树上return calc(k+k+1,mid+1,r,s,t);else//既有部分在左子树又有部分在右子树return calc(k+k,l,mid,s,mid)+calc(k+k+1,mid+1,r,mid+1,t);
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);buildtree(1,1,n);//从编号为1的根结点开始while(m--){int t,x,y;scanf("%d%d%d",&t,&x,&y);if(t==1)add(1,1,n,x,y);//从编号1开始else printf("%d\n",calc(1,1,n,x,y));}
}

树状数组解法：
树状数组是简便快捷的方法，效率也高，但是底层的结构是有关于二进制的后缀和思想，比较难理解，强推这位大佬的文章：
树状数组简单易懂的详解

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
int n,m,a[500005],f[500005];
void update(int x,int value){for(;x<=n;x+=lowbit(x))f[x]+=value;
}
int sum(int x){int ans=0;for(;x>=0;x-=lowbit(x))ans+=f[x];return ans;
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]),update(i,a[i]);while(m--){int t,x,y;scanf("%d%d%d",&t,&x,&y);if(t==1)update(x,y);else printf("%d\n",sum(y)-sum(x-1));}
}

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