极限分辨率是艾里斑的直径还是半径_小孔成像（二）—

上一节讲了小孔成像中小孔尺寸对图像清晰度的影响，那么成像的清晰度极限也就是分辨率可以达到多少呢？为了进一步讨论这个问题，我们将不再讨论一个物体的小孔成像，而是一个理想点光源，经过小孔的像。并且讨论小孔尺寸十分小的情况下成像，也就是经典的单缝衍射。

在此之前，我们必须讨论双缝干涉，因为单缝衍射可以看做是多个点光源的干涉。

双缝衍射：

因为惠更斯定理。过缝之后，光仍为球面波传播，所以两个子波传播会出现驻波，因此在经过双缝后会产生干涉。也就是在某一个观测平面，如图一中橙色线上，会出现明暗相间的条纹。

再此，我们讨论一下缝的间距对衍射条纹间距的影响，当两个小孔间距较小时，衍射条纹尺寸较大。见图2，上排图像为x-z平面，下排条纹为x-y平面的结果。

单缝衍射：

讨论一个成像系统如何把一个点光源成像出来，其系统如下图所示，因此也只需要考虑图3中右侧过透镜后的衍射。参见图3平面波过小孔后，其尺寸被限制，并且经过第二个透镜变为球面波，该球面波可以看成由多个子波组成。

当首先我们考虑三个子波，之后5个，然后逐渐增多到无限多个点之后，相面上最终会形成一个尺寸为0.61λ/NA的光斑，也就是一个成像系统的衍射光斑尺寸。其中NA为数值孔径，点光源在像面的分布又称为（点扩散函数）PSF，为poin spread function的缩写。注意区分x-z平面和x-y像平面。

数值孔径：

数值孔径NA定义为如图四所示，决定成像系统的性质，也决定一个成像系统的衍射。NA 与介质的折射率，和透过小孔的球面波与整个球面波的比值有关。大的数值孔径，接收更多的光如图6所示，有更小的PSF，系统的分辨率也就越高。其中图5为不同小孔尺寸，也就是不同NA，对衍射的影响。中心衍射条纹的尺寸为0.61λ/NA，也就是系统的衍射极限。因为其他高阶条纹的强度远远低于中心点，所以我们可以忽略其他亮条纹。

可以理解为，一个理想的无限小的点光源，经过成像系统后具有0.61λ/NA的尺寸，也就是该系统能分辨的最小尺寸。当我们把像平面的像无限放大后，当像素小于0.61λ/NA后，无法看到成像物体的更多细节。

扩展知识：艾里斑，贝塞尔函数和天文

当我们考虑二维的情况，小孔是一个圆圈，那么经过成像系统后，理想点光源变为一系列圆环。我们把中心的圆盘成为Airy Disk。之所以叫Ariy Disk是因为人们再用望远镜观察恒星的时，发现在星星周围会出现一系列同心光晕，George Airy 在1835年的论文中第一次给出了这个现象的理论解释，因此以他的名字进行命名。但是Airy Disk的同心圆环并不是物体本身存在的性质，而是由于成像系统的原因出现的artifact，因此我们把单缝衍射中心的圆盘叫做Ariy Disk。

那么如何用数学表达式表达艾里斑呢？其他的表达式是用贝塞尔函数来表示的。这里面涉及了傅里叶变换，我将在傅里叶光学系列里和大家分享相关的知识。

参考资料：

【1】https://www.youtube.com/watch?v=sTa-Hn_eisw

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