一、写在前面

多项式回归结合响应面分析方法，可以利用响应面图直观反应复杂的三维关系，从而清晰呈现两个自变量和一个因变量之间关系的技术方法。

二、数据

除25组数据外，还加一组自然情况下的基准数据：

No.	Temperature	pH	Fe2+	Cu2+	Fe3+	Y
0	30	6.5	0	0	0	7.55

三、代码-多元线性回归

3.1 导入库

from mpl_toolkits.mplot3d.axes3d import Axes3D
from matplotlib import cm
from pylab import *
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import math
import numpy as np
import copy
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False  #用于解决不能显示负号的问题
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

3.2 导入数据

#26
xArr = [[1,30,6.5,0,0,0],[1,30,1.5,0,0,0],[1,30,2,1,3,1],[1,30,2.25,3,5,3],[1,30,2.27,5,8,5],[1,30,2.41,8,10,8],[1,35,1.5,1,5,5],[1,35,2,3,8,8],[1,35,2.5,5,10,0],[1,35,3,8,0,1],[1,35,2.61,0,3,3],[1,40,1.5,3,10,1],[1,40,2,5,0,3],[1,40,2.5,8,3,5],[1,40,2.28,0,5,8],[1,40,3.23,1,8,0],[1,45,1.5,5,3,8],[1,45,2,8,5,0],[1,45,2.5,0,8,1],[1,45,2.44,1,10,3],[1,45,2.26,3,0,5],[1,50,1.5,8,8,3],[1,50,2,0,10,5],[1,50,2.17,1,0,8],[1,50,3,3,3,0],[1,50,2.82,5,5,1]
]#26
yArr = [7.55,7.14,7.2,7.05,6.82,6.51,6.73,6.69,6.46,6.75,6.70,6.55,6.3,6.21,6.18,5.97,5.95,5.9,5.5,5.72,5.6,5.62,5.29,5.57,5.30,5.21]# print(len(xArr),len(yArr))

3.3 多元线性回归模型

3.3.1 多元线性回归-OLS

这里插一点和题目不相关的东西，像这种有许多X与对应的Y的数据，可以考虑进行多元线性回归

回归代码如下：（最小二乘法）

#最小二乘法 OLS
def standRegres(xArr,yArr):xMat = mat(xArr)yMat = mat(yArr).TxTx = xMat.T*xMatif linalg.det(xTx) == 0.0:print("This matrix is singular, cannot do inverse")returnws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
#     print(ws)return ws

3.3.2 多元线性回归模型预测值相对误差

采用多元线性回归方程对验证每组数据相对误差：

mySum = 0
sse = 0
yPerList = []#采用全部数据进行训练
ws = standRegres(xArr,yArr)          #ws即为方程系数
print(ws)
for index,x in enumerate(xArr):yPer = float(x*ws)               #yPer即为预测值yPerList.append(yPer)           mySum += abs(yPer-yArr[index])*100sse = (yPer-yArr[index])**2 error = abs(yPer-yArr[index])/yArr[index]*100       #相对误差
#     print(yArr[index],round(yPer,2),str(round(error,2))+"%")plt.plot(index,error,"o")plt.title("                            ",fontsize=13) #图片上方留白
plt.rc('font',family='Arial')                         #设置字体
plt.rcParams['xtick.direction'] = 'in'                #刻度线朝内
plt.rcParams['ytick.direction'] = 'in'
plt.tick_params(labelsize=18)                         #刻度大小
plt.xlabel("Test No.",fontsize=18)
plt.ylabel("Relative Error/%",fontsize=18)
plt.savefig("线性回归模型各拟合值相对误差",dpi=500,bbox_inches = 'tight') #dpi-清晰度
plt.show()print("SSE=",sse,"平均相对误差=",round(mySum/sum(yArr),2))
print(corrcoef(yPerList,yArr)[0][1])

效果：

3.3.3 残差图

3.3.4 预测值与真实值分布图

四、代码-响应曲面

4.1 高斯消元

4.2 响应曲面绘制代码

绘图的核心代码在这里，感兴趣的自己研究研究吧

变量res的系数就是用4.1节的高斯消元算法生成的系数

def matching_3D(X, Y, Z,xLabelIndex,yLabelIndex,name,arg1=37,arg2=-72):n = len(X)res = get_res(X, Y, Z, n)# 输出方程形式print("z=%.6s*x^2%.6s*xy%.6s*y^2%.6s*x%.6s*y%.6s" % (fun(res[0]), fun(res[1]), fun(res[2]), fun(res[3]), fun(res[4]), fun(res[5])))# 画曲面图和离散点fig = plt.figure()  # 建立一个空间ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')  # 3D坐标xgrid = np.linspace(min(X),max(X),100)ygrid = np.linspace(min(Y),max(Y),100)x,y = np.meshgrid(xgrid,ygrid)# 给出方程z = res[0] * x * x + res[1] * x * y + res[2] * y * y + res[3] * x + res[4] * y + res[5]# 画出曲面sp = ax.plot_surface(x, y, z, rstride=3, cstride=3, cmap=cm.jet)ax.contourf(x,y,z,zdir='z',offset=5,cmap = plt.get_cmap('rainbow'))# 画出点ax.scatter(X, Y, Z, c='r',label="实测点",alpha=0)plt.rc('font',family='Arial')plt.xlabel(labelName[xLabelIndex])plt.xticks(rotation=30,fontsize=9)plt.ylabel(labelName[yLabelIndex])ax.set_zlabel(labelName[0])#     show_text(ax)
#     ax.legend()fig.colorbar(sp)ax.view_init(elev=arg1, azim=arg2)plt.rcParams['xtick.direction'] = 'in'plt.rcParams['ytick.direction'] = 'in'plt.savefig(name,dpi=500,bbox_inches = 'tight')fig.show()

4.3 调用matching_3D绘制响应曲面

代码：

和4.2节matching_3D的参数对照看：

X与Y为自变量列表-分别为X轴与Y轴

yArr为因变量-Z轴坐标

1、4即为对应4.1节中labelName列表对应的名字，用于自动生成响应的坐标名称

T-cu2+即为保存的图片文件名

37，-72用于调整图片视角

%matplotlib notebook
X = []
Y = []
for x,y in zip(xArrMat[:,1],xArrMat[:,4]):X.append(float(x))Y.append(float(y))
matching_3D(X,Y,yArr,1,4,"T-cu2+曲面图",37,-72)

效果：

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