奈奎斯特判据的个人理解

对于上述反馈系统而言，它的闭环传递函数为 $Q\left ( s \right )=\frac{KH\left ( s \right )}{1+KH\left ( s \right )G\left ( s \right )}$ ，它的开环传递函数为 $KH\left ( s \right )G\left ( s \right )$ 。我们期望这个反馈系统是稳定的，也就是说对于 $Q\left ( s \right )$ 而言，我们希望它的极点都出现在 $s$ 平面的左半面。设辅助函数 $F\left ( s \right )=\frac{1}{K}+H\left ( s \right )G\left ( s \right )$ ，这个函数等效于 $Q\left ( s \right )$ 的分母，因此 $F\left ( s \right )$ 的零点也就对应着 $Q\left ( s \right )$ 的极点， $F\left ( s \right )$ 的极点也就对应着 $Q\left ( s \right )$ 的零点。所以我们期望 $Q\left ( s \right )$ 稳定也就是希望 $F\left ( s \right )$ 的零点都出现在 $s$ 平面的左半面，或者说， $s$ 平面的右半面没有 $F\left ( s \right )$ 的任何零点。那么我们如何判断 $F\left ( s \right )$ 在 $s$ 平面的右半面的零点个数呢？这就引入复变函数的围线性质。

围线性质

对于一个一般有理函数 $w\left ( p \right )$ ，其中 $p$ 是复变量。假设对 $p$ 复平面上一条沿顺时针闭合的围线求其所对应的 $w\left ( p \right )$ ，如下图所示。

这里为了方便说明，假设 $w\left ( p \right )=\left ( p-p_{1} \right )\left ( p-p_{2} \right )$ ，也就是说这个函数 $w\left ( p \right )$ 存在两个零点，而没有任何极点。考虑复平面 $p$ 上的顺时针闭合围线包围了其中一个零点，那么随着围线上的点 $p$ （复变量 $p$ ）顺时针旋转一周时，围线上的点 $p$ 与围线所包围的零点 $p_{1}$ 所形成的向量 $p-p_{1}$ 的相角变换 $-2\pi$ ，而围线上的点 $p$ 与围线外的零点 $p_{2}$ 所形成的向量 $p-p_{2}$ 的相角变换 $0$ 。因此对于有理函数 $w\left ( p \right )=\left ( p-p_{1} \right )\left ( p-p_{2} \right )$ 而言，随着复平面 $p$ 上一条只包围一个零点的围线顺时针转一周，它的相角变换了 $-2\pi$ ，也就是说 $w\left ( p \right )$ 也在复平面上顺时针绕原点转了一周。

推展而言对于复平面 $p$ 上包围一个极点的顺时针围线而言，围线上的点 $p$ 与极点 $p_{3}$ 所形成的向量的相角变化也是 $-2\pi$ ，但是对于有理函数 $f\left ( p \right )=\frac{1}{p-p_{3}}$ 而言，随着复平面 $p$ 上一条只包围一个极点的围线顺时针转一周，它的相角变换了 $2\pi$ ，也就是说 $w\left ( p \right )$ 也在复平面上逆时针绕原点转了一周。

由此得到复变函数的围线性质：当在 $p$ 平面内，以顺时针方向沿以闭合路径C绕一周时，对于沿这条闭和路径的 $p$ 值所对应的 $w\left ( p \right )$ 的图以顺时针方向环绕远点的净次数等于在 $p$ 平面上闭合路径C内 $w\left ( p \right )$ 的零点数减去它的极点数。

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我们去s平面内一条囊括整个有伴平面的顺时针闭合围线C如下图所示。

那么这个围线所对应的 $F\left ( s \right )=\frac{1}{K}+H\left ( s \right )G\left ( s \right )$ 顺时针绕复平面上原点的圈数就等效于 $H\left ( s \right )G\left ( s \right )$ 顺时针绕复平面上 $\left ( \frac{1}{K}+j0 \right )$ 的圈数，这等于 $F\left ( s \right )$ 在s右半平面的零点数减去极点数。而 $F\left ( s \right )=\frac{1}{K}+H\left ( s \right )G\left ( s \right )$ 在s右半平面的零点对应的就是闭环传递函数 $Q\left ( s \right )=\frac{KH\left ( s \right )}{1+KH\left ( s \right )G\left ( s \right )}$ 在s右半平面的极点， $F\left ( s \right )=\frac{1}{K}+H\left ( s \right )G\left ( s \right )$ 在s右半平面的极点对应的就是开环传递函数 $H\left ( s \right )G\left ( s \right )$ 的极点。

综上所述，s平面内一条顺时针，囊括整个s右半平面的闭合围线C（如上图）所对应的开环传递函数 $H\left ( s \right )G\left ( s \right )$ 在复平面上的曲线，顺时针绕复平面上 $\left ( \frac{1}{K}+j0 \right )$ 的圈数，应该等于闭环传递函数 $Q\left ( s \right )=\frac{KH\left ( s \right )}{1+KH\left ( s \right )G\left ( s \right )}$ 在s右半平面的极点数减去开环传递函数 $H\left ( s \right )G\left ( s \right )$ 的极点数。

为了使闭环传递函数稳定，那么就要求 $Q\left ( s \right )=\frac{KH\left ( s \right )}{1+KH\left ( s \right )G\left ( s \right )}$ 在s右半平面无任何极点，也就是说，

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