学习教程来自:GAMES201：高级物理引擎实战指南2020
以下大部分图片来自教程PPT，仅作为笔记用于学习和分享，侵删

笔记内容大多为课程内容的翻译和转述，外加一些自己的理解，若有不正确的地方恳请大家交流和指正

上一讲难产了，不知道能不能补过来了，先学这一讲吧hh

笔记

这节本质上是使用有限元的方法，最终得到一个线性系统用于求解。

1. FEM(Finite element method)

Galerkin methods（加辽金方法）的一种，FEM将continuous PDEs转化为线性系统，用于后续求解
步骤：

将强型PDEs转化为弱型PDEs
分步积分
散度定理进一步简化偏微分方程并得到诺依曼（Neumann）边界条件的显式形式
离散化
求解线性系统

2D Poisson’s equation 2维泊松方程：拉普拉斯方程是泊松方程的简化形式（来自知乎知乎用户Csa5DY），所以简单理解的话这里说的方程严格来说是拉普拉斯方程，但也算是泊松方程

Dirichlet boundary：狄利克雷边界条件/第一类边界条件，直接给定u在边界上的值

Neumann boundary：诺依曼边界条件/第二类边界条件，为u在边界上导数/梯度的值乘以法线方向

2. 离散化求解泊松方程

2.1 化简

首先，用一个任意的二维标量函数w(x)，与强型式∇·∇u相乘，可以得到

另外，用w直接与∇u相乘再求导，并展开（求导的展开）化简（∇·∇u=0）得到

2边同时积分可得下方右项，因此推导成立

散度定理（Divergence theorem）：一个体积内对x散度的面积分 = 边界上的向量函数x和法向量点乘，绕边界的线积分
因此可推

2.2 离散

用线性的基函数ϕ模拟连续函数u(x)，如下为二维

三维情况下，图片来源2D basis functions on a triangular mesh

带入2.1结尾方程，同时离散化函数w和函数u

抽出对uj求和的部分

引入矩阵形式：
K：“stiffness” matrix 刚度矩阵
u: degree of freedoms/solution vector 自由度/解向量
f: load vector

其中有

2.3 边界条件

将u替换为对应的边界条件规定的关系

3. Linear elasticity FEM 线性弹性有限元

柯西动量方程：速度求拉格朗日导数（即加速度） = 1/密度乘以柯西stress tensor的散度 + 体积力/重力加速度

准静态过程下：速度很小为0，重力为0

自由度 Degree of freedom：displacement u（新的位置减去旧的位置）

3.1 求解-FEM方法

Index notion：用 , 表示求导，αβγ对应xyz轴，则原方程变化为

其中求散度的部分乘以w

分步积分

约掉为0的部分

2边积分，并使用散度定理

离散化w和u

带入

求其中σ和u的关系（线性关系）

替换符号标记表示为

带入得到线性系统Ku = f

4. Topology optimization 拓扑优化

是一种根据给定的负载情况、约束条件和性能指标，在给定的设计区域内对材料分布进行优化的数学方法，是结构优化的一种。（来自知乎拓扑优化（Topology Optimization）浅谈）

Games201学习笔记5：线性弹性有限元相关推荐

Games201学习笔记2：拉格朗日视角2
学习教程来自:GAMES201:高级物理引擎实战指南2020 以下大部分图片来自教程PPT,仅作为笔记用于学习和分享,侵删笔记内容大多为课程内容的翻译和转述,外加一些自己的理解,若有不正确的地方恳请 ...
Games201学习笔记3：欧拉视角
学习教程来自:GAMES201:高级物理引擎实战指南2020 以下大部分图片来自教程PPT,仅作为笔记用于学习和分享,侵删笔记内容大多为课程内容的翻译和转述,外加一些自己的理解,若有不正确的地方恳请 ...
TensorFlow 深度学习笔记从线性分类器到深度神经网络
转载请注明作者:梦里风林 Github工程地址:https://github.com/ahangchen/GDLnotes 欢迎star,有问题可以到Issue区讨论官方教程地址视频/字幕下载 L ...
【入门建议收藏】密码学学习笔记之线性分析入门篇——EzSPN
前言上一篇了解了一下差分分析,这次我们结合一道CTF题目聊一聊线性分析同属于选择明文的差分分析不同,线性分析属于已知明文攻击方法,它通过寻找明文和密文之间的一个"有效"的线性逼 ...
《信号与系统学习笔记》—线性时不变系统（一）
注:本博客是基于奥本海姆<信号与系统>第二版编写,主要是为了自己学习的复习与加深. 一.离散时间线性时不变系统:卷积和一).用脉冲表示离散时间信号 1.如何把任何离散时间时间信号看成由离 ...
深度学习笔记（线性神经网络）
3.1. 线性回归 - 动手学深度学习 2.0.0-beta1 documentation 目录 3.1. 线性回归 - 动手学深度学习 2.0.0-beta1 documentation 3.1 线 ...
《离散时间信号处理学习笔记》—线性时不变系统的变换分析（一）
注:本博客是基于奥本海姆<离散时间信号处理>第三版编写,主要是为了自己学习的复习与加深. 一.LTI系统的频率响应一).频率响应相位和群延迟 1.在各频率点上的频率响应通常为一个复数.若 ...
《离散时间信号处理学习笔记》—线性时不变系统的变换分析（二）
注:本博客是基于奥本海姆<离散时间信号处理>第三版编写,主要是为了自己学习的复习与加深. 一.最小相位系统一).最小相位和全通系统 1.任何有理系统函数都能表示成式5.1 式中是最小相 ...
Android学习笔记(11):线性布局LinearLayout
线性布局LinearLayout是指在横向或是竖向一个接一个地排列.当排列的组件超出屏幕后,超出的组件将不会再显示出来. LinearLayout支持的XML属性和相应方法如表所看到的: Attrib ...

Games201学习笔记5：线性弹性有限元

笔记