本节书摘来自华章社区《电子元器件的可靠性》一书中的第3章，第3.2节抽样理论及抽样方法，作者王守国，更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看

3.2　抽样理论及抽样方法　　
电子元器件由于批量大，可靠性高，对于其寿命和可靠性常采用抽样检验的方法，特别是破坏性试验、抽样检验显得更重要。所谓抽样检验是指依照规定的抽样方案和抽样程序，从批（一批产品或一个制造过程的日产量等）产品中随机地抽取若干个样品进行检验，根据检验结果来判断该产品是否合格，或者判断产品特性是否稳定，这是一种既经济又实用地检验产品质量和可靠性的办法。科学的抽样检验方法以概率论与数理统计为理论依据，自20世纪20年代以来，在工农业生产中广泛地使用。
抽样检验的前提是产品的质量和可靠性必须均匀、稳定。只有这样，从整批产品中抽取出来的样品，才能具有一定的代表性。对它检验的结果才能用来评估整批产品的质量与可靠性指标。不过，抽样检验的方法总是免不了会出现偶然性，也就是说，根据子样品的特性来推断母体的特性，不可能有百分之百的把握，只有用概率计算的方法，才能使抽样检验的结果更加接近实际情况。
抽样检验按其目的分为抽样验收和抽样控制两大类。抽样验收的目的是判断批产品是否符合产品的技术标准，而抽样控制则为了确定产品制造过程是否稳定。
抽样检验按其被检验的指标，可分为计数抽样和计量抽样。计数抽样检验旨在判断产品是否合格，而与产品的特性值无直接关系，它是根据产品技术标准要求，按抽样方案抽取样本大小，进行试验或检查，按其结果判断产品是合格或不合格。计量抽样检验旨在衡量产品质量的抽样方案。
抽样检验按抽样方式又分为一次抽样（单式抽样）、二次抽样（复式抽样）、五次抽样（多重抽样）和序贯抽样。所谓一次抽样方案是指从批中只抽取一个样本（即批中随机抽取被检验样品的总数称为一个样本），根据样本检验的结果，判断批合格或不合格。
所谓二次抽样方案是指根据第一个样本的检验结果，判断批合格、不合格或再做检验。如果再做检验，则根据第一个和第二个样本检查的结果，判断批合格或不合格。如果是五次抽样方案，可以最多到五个样品的检查，根据第一至五个样品的检验结果，判断合格或不合格。
序贯抽样是逐个地进行抽样检查，抽一个样品进行检验，判断是否能对产品下结论，如不能下结论就继续抽下一个，再看已抽出总的样品检验结果，如仍不能下结论，则继续下去，知道能下结论为止。这种方法虽然比较复杂，但可以节省样品数，而且还可以充分利用每一个样品检查的信息做判断，对贵重的产品进行破坏性试验时，常采用此种抽样方式。
抽样检验的样品必须从建立了可靠性质量管理和连续生产的稳定产品批中随机地抽取，这样抽取的产品才是具有代表性，否则，抽取检验将毫无意义。
3.2.1　抽样检验的理论基础
假设有N件产品，其不合格率为p（指不合格品占全部产品的百分数）。如果从N件产品中随机抽取n件，这n件中不合格品数r是一个随机变量。仅当不合格品率p不大于p0时，产品才算合格。显然，为满足此要求，在抽取的n件样品中，不合格品数存在一个临界值C，当r>C时，p>p0，这批产品就不合格。因此，当这批产品确定了一个抽样常数n和C时，就确定了一个抽样方案。不同的（n，C）就是不同的方案，显然，可以有很多抽样检查方案。在这些抽样方案中，哪一个是最好的呢？用什么办法挑选出这个最好的方案呢？这就是抽样检验理论应该解决的两个基本问题。要判断一个抽样检验方案的好坏，必须给出好坏的标准，随着标准的不同，最好的抽样方案也会不同。为了说明其好坏的标准，首先看一看下面的实际情况。
例如，一批元件，规定的不合格品率为p0，选用了一个抽样方案（n，C），在n个样品中，不合格品数是r，于是实际可能的情况如表3.7所示。

在①、④中，抽样后所下的判断与实际情况完全相符，这是我们所希望的。而对于②、③两种情况，所下的判断与实际情况完全相反，这是不希望发生的。第②种情况把合格产品判为不合格品，犯了“以真为假”的错误，通常称为第Ⅰ类错误；第③种情况把不合格产品判为合格品，犯了“以假为真”的错误，通常称为第Ⅱ类错误。这两类错误的性质是不同的，前者对生产单位造成影响，后者对使用单位造成危害。但是，不论哪一类错误，都是不希望出现的。因此，一个好的抽样方案（n，C），既不犯第Ⅰ类错误，又不犯第Ⅱ类错误，实际上，这是不可能完全达到的。通常只能要求出现第Ⅰ类错误的概率α(p)和第Ⅱ类错误的概率β(p)尽可能地小。满足此条件的抽样方案就是比较好的方案。
α(p)和β(p)如何确定呢？其表达式与哪些因子有关呢？为此，必须利用最常用的概率分布：二项分布、泊松分布和超几何分布。超几何分布主要用于小批量的抽样检验。
设Nn，可以近似认为N是无限总体，即抽取n个产品并不会影响总的不合格产品率p的数值。若从N个产品中任意抽取一个产品，抽到合格产品的可能性是(1－p)；连续抽二个，抽到两个合格品的可能性为(1－p)2；同理，连续抽n个都是合格品的可能性是(1－p)n，即上述抽样方案的函数为L(C=0)=(1－p)n。
另一种情况，即n个中只有一个不合格品的可能性是多大呢？因为连续抽取n个时，不合格品可能是第一个，也可能是第二个、第三个，……或第n个，因此，共有C1n种可能性。而抽到一个不合格的可能性是p，n个中有n－1个合格品的可能性是(1－p)n－1。显然，n个中有n－1个好品，1个不合格品的可能性是C1n(1－p)n－1p=L(C=1)，所以L(C≤1)=L(C=0)+L(C=1)=∑1i=0Cin(1－p)n－ipi这就是概率论中的二项分布律。它的物理意义是：一大批产品的不合格率为p，从中任意抽取n个，其不合格数小于或等于C的可能性为L(p,n,C)=∑Ci=0Cin(1－p)n－ipi，而不合格品数大于C的可能性是1－L(p,n,C)。如果把此批产品判为不合格，其概率应为1－L(p,n,C)，也就是说，可能有1－L(p,n,C)的可能性把合格品判为不合格品，这称为生产风险率，即出现第Ⅰ类错误的概率α(p)。用这种方法抽样检验时，抽检判为合格的置信度为1－α，即生产单位有（1－α）的把握。因此，L(p,n,C)为接收概率，即把不合格产品判为合格的风险概率，把这称为使用单位的风险率，即犯第Ⅱ类错误的概率为β(p)。
因此，实际应用这一抽样公式来验收产品时，生产单位和使用单位为维护自己的利益，对被鉴定的产品合格与否，提出了各自的标准。生产单位对批量合格产品的不合格品率提出一个上限p1，认为实际不合格品率p≤p1为合格产品；而使用单位对批量合格产品的不合格品率提出一个下限p2，认为实际不合格率p≥p2为不合格产品，并规定生产单位风险率α(p)和使用单位风险率β(p)，因此有L(p1,n,C)=∑Ci=0Cin(1-p1)n-ipi1=1-α
L(p2,n,C)=∑Ci=0Cin(1-p2)n-ipi2=β解上述联立方程，可得到满足方程的n和C，从而确定出抽样方案，通常都做成抽样表，可直接查表确定。
当n很大时，计算上述二项分布比较麻烦。如果p很小，np=λ为常数且又很小，二项分布可用泊松分布来近似计算，则L(p)=∑Ci=0Cin(1－p)n－ipi=∑Ci=0λi!e－λ当批量N<100，n/N>0.1时，抽样后将影响总体不合格品率，这时只能用超几何分布来确定接收率，则L(p)=∑Ci=0CiNpCn－iN(1－p)CnN式中，Np为批不合格品数，p为批不合格品率。
3.2.2　抽样的特性曲线
设批量生产总数为N，不合格品率为p，显然，当p=0时，这批产品肯定被全部接收；而当p=1时，则全部拒收；当0

1.理想的抽样曲线
若给定不合格品率为p0，当批合格品率p≤p0时，这批产品合格，全部接收，即L=1；如果p>p0，则全部被拒收，即L=0，其特性曲线如图3.2a中的粗线所示。

此外，若批量N的大小不同，相同的抽样方案也将使抽样特性曲线很分散。因此，在选取抽样方案时，应尽可能使其特性曲线不很分散，以保证出厂产品质量或可靠性保持在一定水平上。同时，还可根据生产质量的稳定程度和质量水平，把抽样方案可分成不同的抽样水平。对于质量较低的产品抽查得严格一些，对于质量高并且比较稳定的产品，可以抽查得宽松一些。
3.2.3　抽样方案及程序
下面仅介绍最常用的计数抽样检验方案及程序。
1.一次计数抽样检验
当批量N一定时，按相应的抽样方案确定出（n，C），其抽样检验方案可记作（N；n，C）。显然，这样的抽样方案应首先由生产图3.4　一次抽样检验程序　图3.5　二次抽样检验程序单位和使用单位共同协商确定4个参数，即生产单位风险率α，使用单位风险β，合格质量水平p1（有时也可选用p0，即AQL（Acceptance Quality Level）），不合格质量水平p2（LTPD（Lot Tolerance Percent Defective，批次允许不合格品率）），然后根据方程组L(p1)=1－α
L(p2)=β求解而确定，其检验程序如图3.4所示，AC是合格判定数，Re是不合格判定数。
2.二次计数抽样检验
一次计数抽样需抽取较多的样品数，为减少抽样数，同时又控制其出现两类错误的概率不超过α、β，从而提出二次计数抽样检验。当批量N一定时，按相应抽样方案确定出（n1,AC1,Re1,n2,AC2,Re2），其抽样检验方案可记作（N;n1,AC1,Re1,n2,AC2,Re2）。其中，n1、n2分别为第一和第二样本数，AC1、Re1、AC2、Re2分别为第一和第二次检验合格和不合格判定数，相应的检验程序如图3.5所示。

3.计数序贯抽样检验
当产品不合格率为p1时，认为产品质量合格，以1－α高概率接收；当产品不合格品率为p2时，认为产品质量不合格，以1－β高概率拒收。如果给定了p1、p2、α、β，可以确定出接收、拒收和继续检验区的界限。如果抽取一个单位产品（指构成产品总体的基本单位），检验在继续检验区内，不能下结论，则需要继续抽取一个单位产品进行检验，直到能下结论为止。因此，序贯抽样检验的核心问题是如何确定接收、拒收和继续检验区的界限。
为了满足使第Ⅰ类错误的概率为α，第Ⅱ类错误的概率为β的要求，可以采用下面的序贯检验方案。
1） 首先计算出由A=β1－α和B=1－αβ所确定的A和B的值。第一次抽验一个单位产品，用i1表示抽验单位产品的不合格品数，它是0或1。
根据概率统计可以推出接收函数的值为L1=pi12(1－p2)1－i1pi11(1－p1)1－i1　　如果L1≤A，接收，即检验合格；
如果L1≥B，拒收，即检验不合格；
如果A式中，pi12(1－p2)1－i1是当不合格品率p=p2时的概率；pi11(1－p1)1－i1是当p=p1时的概率；L1为前一个概率和后一个概率的比值，称为似然比。显然，若L1≤A，可以认为检测结果p=p2的可能性没有p=p1的可能性大，因此可接收批产品；反之，若L1≥B，可认为检测结果p=p2的可能性比p=p1的可能性大，因而可拒收批产品；而A2） 第二步，以i2表示第1次和第2次所抽取的两个单位产品中不合格的个数。
计算由下式确定的接收函数的值为L2=pi22(1－p2)2－i2pi21(1－p1)2－i2　　如果L2≤A，接收此批；
如果L2≥B，拒收此批；
如果A……
3） 第n步，在继续抽验至第n个单位产品后，以in表示前n个被抽验的单位产品中不合格品的个数。
计算由下式确定的接收函数的值为Ln=pin2(1－p2)n－inpin1(1－p1)n－in　　可以证明，此方案的抽样检验的特性函数为L(p)=Bh－1Bh－Ah式中，h的值可由下面的方程式来确定，即p=1－1－p21－p1hp2p1h－1－p21－p1h　　当p=0时，L(0)=1。
当p=p1时，L(p1)=1－α。
当p=ω=ln1－p21－p1lnp2p1－ln1－p21－p1时，L(ω)=lnBlnB+lnA。
当p=p2时，L(p2)=β。
当p=1时，L(1)=0。
显然，计数序贯抽样方案的抽样特性曲线如图3.6a所示。因此，第n次抽验后的合格判断规则为Ln=pin2(1－p2)n－inpin1(1－p1)n－in≤A图3.6　序贯抽样接收函数和各个试验区的确定
两边取对数得inlnp2p1+(n－in)ln1－p21－p1≤lnA可写为in≤ωn+u式中，u=lnAlnp2p1－ln1－p21－p1
同样，可得不合格判断规则为in≥ωn+v式中，v=lnBlnp2p1－ln1－p21－p1
由此，可以做出序贯抽验图，如图3.6b所示，从而确定出接收区、拒收区和继续抽样区，可确定对于抽验n个单位产品的合格和不合格的临界不合格品数，从而确定了检验判断准则。只要把检测的不合格数和临界不合格数进行比较，就可做出判断或再继续抽检试验的结论。
在实际工作中，根据上述理论分析计算，做出现成的表或图，可以直接查用。例如，电子元器件失效率抽样检验，以及电子产品的平均寿命抽样检验的抽样方案表都是根据这样的方法制定的。