方阵特征值估计、圆盘定理、谱与谱半径

文章目录

方阵特征值估计、圆盘定理、谱与谱半径
- 特征值估计
- - 圆盘
  - - 例题
  - 圆盘定理
  - - 证明：圆盘定理
  - 定理：m个圆盘构成1个连通部分，该部分则有m个特征值（分布结构）
  - 定理：具体分布情况（缩小半径）
  - - 证明：缩小半径
    - 例题：特征值范围
- 谱半径的估计
- - 谱与谱半径
  - 谱半径的估计
  - - 证明
    - 例题：谱半径

特征值是方阵和线性变换的重要指标，其计算需求解nnn次
多项式的根较复杂，而应用中有时并不需要求出其精确值。

特征值估计

圆盘

设 nnn 阶方阵 A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times n}A=(aij)n×n，称集合Gi(A)={λ∣∣λ−aii∣≤∑j≠i∣aij∣}G_i (A)=\{\lambda | |\lambda -a_{ii}| \le \sum_{j\neq i}{|a_{ij}|}\}Gi(A)={λ∣∣λ−aii∣≤∑j=i∣aij∣}为AAA的第i(i=1,...,n)i(i=1,...,n)i(i=1,...,n)个圆盘（盖尔圆）。

例题

分析：

按照每行为单位，进行计算就好
注意是在复平面画图，yyy轴的单位为iii

此外，有连通部分的定义：交结在一起的圆盘所构成的最大连通区域。如上例题中，共有个2连通部分。

圆盘定理

定理：nnn阶方阵的个特征值均落在AAA的nnn个圆盘的并集之内。

即，A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times n}A=(aij)n×n的每一个特征值均至少满足下列不等式之一：
∣λ−aii∣≤∑j≠i∣aij∣,i=1,...,n|\lambda -a_{ii}|\le \sum_{j \neq i}|a_{ij}|,i=1,...,n∣λ−aii∣≤j=i∑∣aij∣,i=1,...,n

证明：圆盘定理

分析：

最终证明的目标是：对于任一特征值λ\lambdaλ，有λ∈∪j=1nGj(A)\lambda \in \cup_{j=1}^n G_j(A)λ∈∪j=1nGj(A)
在证明过程中，注意利用了特征值不全为0并取∣ξi0∣=max⁡∣ξi∣|\xi_{i0}|=\max|\xi_i|∣ξi0∣=max∣ξi∣、特征值定义Aξ=λξA\xi = \lambda \xiAξ=λξ这两条性质

定理：m个圆盘构成1个连通部分，该部分则有m个特征值（分布结构）

上面的圆盘定理没有给出分布结构，这里给出。

设是由方阵AAA的mmm个圆盘组成的一个连通部分，则在GGG中必有且只有AAA的mmm个特征值（圆盘相重时重复计数，特征值相同时也重复计数）。

举例子如上。

定理：具体分布情况（缩小半径）

如上，对圆盘半径∑j≠i∣aij∣\sum_{j \neq i}|a_{ij}|∑j=i∣aij∣进行了类似相似的变换，以求缩小范围。

我们可以通过这个变换，把相交的圆盘，进而确定特征值具体分布。

证明：缩小半径

分析：

对AAA进行相似变换
过渡矩阵BBB为对角阵，且对角元素均大于1，因此可逆，可作为过渡矩阵
原理是：相似矩阵特征值相同

例题：特征值范围

分析：将b3b_3b3设置为不等于111的数，实际上是在对S1S_1S1与S2S_2S2操作，因为在不等式∣λ−aii∣≤1bu∑j≠i∣aij∣bj|\lambda -a_{ii}|\le \frac{1}{b_u} \sum_{j \neq i}|a_{ij}| b_j∣λ−aii∣≤bu1∑j=i∣aij∣bj中，我们有j≠ij\neq ij=i。

谱半径的估计

谱与谱半径

谱是集合，谱半径可以理解为最长的特征值的模。

谱半径的估计

ρ(A)≤min⁡{max⁡i∑j=1n∣aij∣,max⁡j∑i=1n∣aij∣}\rho(A) \le \min\{ \max_i \sum_{j=1}^n |a_{ij}|, \max_j \sum_{i=1}^n |a_{ij}|\}ρ(A)≤min{imaxj=1∑n∣aij∣,jmaxi=1∑n∣aij∣}

证明

这里为何要引入转置矩阵ATA^TAT呢？

转置矩阵ATA^TAT一定相似与AAA，一定有相同谱半径
可以缩小个范围，提高精度，不用白不用

例题：谱半径

谱半径相应的特征值称为主特征值，其特征向量称为主特征向量。

「管理数学基础」1.7 矩阵理论：方阵特征值估计、圆盘定理、谱与谱半径相关推荐

「管理数学基础」1.3 矩阵理论：特征值与特征向量
文章目录特征值与特征向量定义特征向量的性值特征矩阵.特征多项式.特征方程例题解答分析定理:特征向量线性无关使用数学归纳法证明特征值与特征向量定义 Ax=λxAx = \lambd ...
「管理数学基础」1.5 矩阵理论：方阵的行列式因子、不变因子、初等因子
文章目录方阵的行列式因子.不变因子.初等因子行列式因子直接的定义例题1 解答1 分析1 不变因子初等因子初等因子计算方法例题2 三种因子小结例题3 例题4 例题5 小结方阵的行列式因 ...
「管理数学基础」1.6 矩阵理论：方阵相似的条件、若当标准形
方阵相似的条件.若当标准形文章目录方阵相似的条件.若当标准形方阵相似的条件例题1 方阵在相似变换下的若当标准形证明若当标准形与原矩阵相似例题2 几个很直观的若当块推论例题:求若当标准形J ...
「管理数学基础」1.2 矩阵理论：线性映射、线性变换T的矩阵表示
文章目录 TTT的矩阵表示线性映射X→YX\rightarrow YX→Y, Tξ=ηAT\xi = \eta ATξ=ηA 定义线性变换X→XX\rightarrow XX→X, Tξ=ξAT\ ...
「管理数学基础」1.1 矩阵理论：线性变换及其矩阵表示
是否构成RRR上的线性空间基之间的过渡矩阵是否是线性变换是否构成RRR上的线性空间是否构成RRR上的线性空间判断封闭: x1,x2∈Rx_1, x_2 \in Rx1,x2∈R,有x1+ ...
「管理数学基础」4.3 模糊数学：模糊关系与模糊矩阵、模糊关系的运算与合成、模糊等价关系
模糊关系与模糊矩阵.模糊关系的运算与合成.模糊等价关系文章目录模糊关系与模糊矩阵.模糊关系的运算与合成.模糊等价关系模糊关系与模糊矩阵定义:模糊关系模糊矩阵的截集模糊关系的运算与合成模糊 ...
严格凸函数充分必要条件_「管理数学基础」3.2 凸分析：凸函数
凸函数定义:凸函数说是凸函数,起码想到使用上式.此外, 又凸又凹,是仿射函数. 几何意义:凸函数分析: 很直观, 即与两点连接的线段上的点注意凸规划里凸是向下凸的凸函数的几个定理:逐 ...
「管理数学基础」4.2 模糊数学：扩张原理、模糊数、可能性分布与模糊概率
扩张原理.模糊数.可能性分布与模糊概率文章目录扩张原理.模糊数.可能性分布与模糊概率扩张原理例题:扩张原理多元扩张原理模糊数凸模糊集性质1:凸模糊集任意截集是一个区间性质2:凸模糊集 ...
「管理数学基础」4.1 模糊数学：模糊现象与模糊集、隶属函数、模糊集的运算、水平截集与分解定理
模糊现象与模糊集.隶属函数.模糊集的运算.水平截集与分解定理文章目录模糊现象与模糊集.隶属函数.模糊集的运算.水平截集与分解定理模糊现象与模糊集模糊集的隶属函数隶属函数的概念模糊集的表示 ...

「管理数学基础」1.7 矩阵理论：方阵特征值估计、圆盘定理、谱与谱半径

方阵特征值估计、圆盘定理、谱与谱半径

文章目录

特征值估计

圆盘

例题

圆盘定理

证明：圆盘定理

定理：m个圆盘构成1个连通部分，该部分则有m个特征值（分布结构）

定理：具体分布情况（缩小半径）

证明：缩小半径

例题：特征值范围

谱半径的估计

谱与谱半径

谱半径的估计

证明

例题：谱半径

「管理数学基础」1.7 矩阵理论：方阵特征值估计、圆盘定理、谱与谱半径相关推荐

最新文章

热门文章