场景

有100个犯死罪的囚徒，现在有一个机会可以免除他们的死刑：有一个放着100个箱子的房间。每个箱子都按顺序编号1−1001-1001−100，箱子中放着随机打乱顺序的囚犯铭牌1−1001-1001−100。每个囚徒可以打开50个箱子，寻找自己的铭牌。如果每个囚徒都成功地找到自己的铭牌，那么这100个囚徒都会被免除死刑。囚徒可以实现商量好任何的策略，但在游戏开始后不可以继续交流，也不可以在箱子上做记号。

思路

看似囚徒赢得游戏的概仅为0.51000.5^{100}0.5100，实际上概率远远比这大得多。

因为随机打乱顺序的箱子，实际上对于这100个囚徒来说并不是独立随机的。策略如下：每个囚徒（比如3号）进入房间后，打开自己的号码所对应的箱子（3号箱），然后根据箱子中存放的铭牌（比如11号铭牌），打开对应的箱子（11号箱），直到找到自己的铭牌（3号铭牌），或者用尽50次尝试。

上述过程就是一个链表，特别地它是一个有限循环链表：假设链表无限长，那么与 ”箱子数和铭牌数都是有限的“ 矛盾；不同号码的箱子和铭牌是一一的，因此链表的每个节点都必然是单输入且单输出的；假设它不是循环链表，那么链表尾部的指针将不会指向之前的链表节点，于是链表长度无限增加，与 “链表有限长” 矛盾。

那么，由于囚徒选择的链表是一个有限循环链表，并且囚徒的第一选择是自己号码（3号）对应的箱子（3号箱子），那么自己的铭牌（3号铭牌）一定就在这个箱子的父节点中！

确切地说，一旦箱子顺序固定下来，囚徒的生死已然确定：只要这个链表的长度不大于50（比如长度为34），那么囚徒一定会成功找到自己的铭牌，并且同一个链条上的囚徒也都可以找到自己的铭牌（他们都在第34次尝试时，成功地找到自己的铭牌）。为了赢得游戏，只需要不出现长度超过50的链表即可，概率为：
Pr=1−∑i=51100i!i⋅i!≈0.31Pr = 1 - \sum_{i=51}^{100} \dfrac{i!}{i \cdot i!} \approx 0.31 Pr=1−i=51∑100i⋅i!i!≈0.31
容易证明，当囚徒数量nnn趋于无限时，
Pr=1−∫n2n1xdx=1−ln⁡2≈0.3069Pr = 1 - \int_n^{2n} \dfrac{1}{x} \,d x = 1-\ln 2 \approx 0.3069 Pr=1−∫n2nx1dx=1−ln2≈0.3069

结论

在同一个链条上的囚徒，要么一起赢，要么一起输。他们各自的输赢概率依旧是50%50 \%50%，但是不再独立。因此，所有囚徒都成功找到自己的铭牌的概率远远高于0.51000.5^{100}0.5100

其实，如果将游戏弱化为只有0,10,10,1两个箱子和两个铭牌，所有囚徒都只有一次选择机会，如果他们都选择到000号铭牌那么赢得游戏。那么最佳策略就是：所有囚徒都选择同一个盒子，成功率为0.50.50.5，而非0.51000.5^{100}0.5100

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