迭代法的收敛条件及收敛阶

迭代法的收敛条件有三个定理，其中定理1、定理2讲的都是全局性收敛，定理3讲的是局部性收敛。

定理1：方程，，且满足以下两条件：

（1）当，；

（2）存在常数，对任意的，有；

则（1）在上有唯一解；

（2）任取，由得到的序列收敛于，即有;

（3）成立误差估计式：

，

，。

上面为事后估计式，表示可用相邻两次迭代值之差地绝对值来估计误差，可作为迭代终止条件。

下面称为事前估计式，可以估计出要达到给定精度所需次数。

定理2：将定理1条件改为：

方程，，在可导，且满足以下两条件：

（1）当，；

（2），当；

则结论同定理1。

定理3：是方程的根，在的一个邻域内导数存在，且存在正常数，使，则任取初值，迭代序列收敛于。

反之，若在的邻域内，则迭代形式发散。

例题：判断用以下迭代法求在的实根时的敛散性。

（1）

（2）

解答：

（1），故此迭代格式发散；

（2），故此迭代格式收敛。

迭代法的收敛阶：

定义：设迭代过程收敛于方程的根，如果迭代误差，且成立，则称序列收敛于具有阶收敛速度，简称是阶收敛的。常数称为渐进收敛常数，也称为收敛因子。

当时称为线性收敛，此时必有；

当时称为超线性收敛；

当时称为平方收敛。

定理4：设为的根，在的邻域内有连续的阶导数，那么：

（1）若，则迭代过程在的附近线性收敛；

（2）若，但，则迭代过程在附近阶收敛。

（3）

例题：求迭代格式的收敛阶。

解答：该迭代格式收敛于方程，解出

运用定理4（2），求出：

故收敛阶为2。

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