【JZOJ3823】遇见

Description

Zyh独自一人在街上漫步。Zyh相信不久后应该就可以和她一起漫步，可是去哪里寻找那个她呢？Zyh相信每个人都有一个爱情的号码牌，这个号码牌是一个n*n的矩阵。
每个人都要在矩阵中选择若干个元素，使得每行每列都有奇数个数被选中，且选中的数字的乘积是完全平方数。每当选出了这若干个元素，他/她就能找到那个她/他。
Zyh想知道对于一个号码牌有多少种选择的方法，使得zyh能够不再孤独。由于这个数字很大，只要输出对1,000,000,007取模后的余数即可。

Solution

我们设Pi,jP_{i,j}表示(i,j)(i,j)这个格子选不选。

现在有两个条件：
1. 使得每行每列都有奇数个数被选中
2. 选中的数字的乘积是完全平方数

我们先看条件1，那么要满足：
Pi,1⊕Pi,2⊕⋯⊕Pi,n=1(1≤i≤n)P_{i,1}⊕P_{i,2}⊕\cdots ⊕P_{i,n}=1(1\leq i\leq n)
P1,j⊕P2,j⊕⋯⊕Pn,j=1(1≤j≤n)P_{1,j}⊕P_{2,j}⊕\cdots ⊕P_{n,j}=1(1\leq j\leq n)
（这里的⊕是异或的意思）

再看条件2：
我们把所有数分解质因数，记出现的质数为p1,p2,⋯,pmp_1,p_2,\cdots,p_m。

定义f(k,x)f(k,x)表示xx这个数是包含了奇数还是偶数个第kk个质数因子，分别用1或0表示。

举个例子：
72=23⋅3272=2^3\cdot 3^2
那么f(2,72)=1,f(3,72)=0f(2,72)=1,f(3,72)=0

然后对于第kk个质数，我们可以得出式子：
P1,1f(pk,a1,1)⊕P1,2f(pk,a1,2)⊕⋯⊕Pn,nf(pk,an,n)=0P_{1,1}f(p_k,a_{1,1})⊕P_{1,2}f(p_k,a_{1,2})⊕\cdots⊕P_{n,n}f(p_k,a_{n,n})=0

然后我们得出了一些式子，这就是很经典的异或方程组模型，用高斯消元求自由元个数tt，答案就是2t2^t。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define rep(i,x) for(int i=ls[x];i;i=nx[i])
#define N 31
#define M 3001
#define ll long long
#define mo 1000000007
#define mod 300007
using namespace std;
int a[M][N*N];
int n;
int bh[M][N*N];
int pr[M];
int h[mod],wz[mod];
int w;
bool hash(int x)
{int p=x%mod;while(h[p] && h[p]!=x) p=(p+1)%mod;w=p;if(h[p]==x) return true;return false;
}
int g(int x,int y){return (x-1)*n+y;
}
int gauss(int tot,int m)
{int i=0,j=0;while(i<m && j<tot){int r=i;fo(k,i,m) if(a[k][j]) {r=k;break;}if(a[r][j]){if(r!=i)fo(k,0,tot) swap(a[i][k],a[r][k]);fo(l,i+1,m-1) if(a[l][j])fo(k,i,tot) a[l][k]^=a[i][k];int t=0;i++;}j++;}fo(i,0,m-1){int t=0;fo(j,0,tot-1) t+=a[i][j];if(!t && a[i][tot]==1) return -1;}return i;
}
int main()
{scanf("%d",&n);fo(i,1,n)fo(j,1,n){ll x;scanf("%lld",&x);int p=2;while(p*p<=x){int t=0;bool tf=hash(p);if(x%p==0 && !tf){pr[++pr[0]]=p;wz[w]=pr[0];h[w]=p;}while(x%p==0) x/=p,t^=1;bh[wz[w]][g(i,j)]=t;p++;}if(x>1){bool tf=hash(x);if(!tf){pr[++pr[0]]=x;wz[w]=pr[0];h[w]=x;}bh[wz[w]][g(i,j)]=1;}}int m=0;fo(i,1,n){fo(j,1,n) a[m][g(i,j)-1]=1;a[m][n*n]=1;m++;}fo(j,1,n){fo(i,1,n) a[m][g(i,j)-1]=1;a[m][n*n]=1;m++;}fo(p,1,pr[0]){fo(i,1,n)fo(j,1,n)a[m][g(i,j)-1]=bh[p][g(i,j)];a[m][n*n]=0;m++;}int t=n*n-gauss(n*n,m);if(t==n*n+1){printf("0");return 0;}ll ans=1;fo(i,1,t) ans=ans*2%mo;printf("%lld",ans);
}

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