EMA - 指数移动平均

EMA 基本概念见 Wikipedia，本文不赘述。

基本公式

S[0] = Y[0]
S[i] = Y[i] * alpha + S[i-1] * (1 - alpha)

其中 alpha 为平滑因子，数值越小曲线越平滑

要点

初始值 S1 会引入误差，为了消除误差有几种常见策略：
- 取前 N 个值的均值作为 S1
- 迭代的前 N 次使用动态平滑因子 alpha，从 1 逐渐变为设定值。
- 系统空转 N 次（ ‘spin-up’ interval）之后再对外提供服务
如何选择 alpha？
- 这是应用决定的，并没有固定的规则。
- 一种选择alpha 的思路是使得均方差最小，数据最平滑。
- 你也可以有自己的策略（思考：你真的需要特别平滑吗？）

一种自适应的计算 alpha 的方法

S[i] 可以写作：

S[n] = w[n] * Y[n] + w[n-1] * Y[n-1] + w[n-2] * Y[n-2] + … w[1] * Y[1] + w[0] * Y[0]

Y 值是随机序列，我们无法预知。每个 Y 的权重 w 和 alpha 相关，是可以预先计算出来的。什么意思呢？分述如下：

我们没有办法控制 Y[i] 在 S[n] 中的占比，因为 Y[i] 是一个输入序列，我们无法预先知道它的值。举个例子

设

Y[0] = Y[1] = … = Y[n - k - 1] = 1;
Y[n - k] = Y[n - k + 1] = … = Y [n - 1] = Y[n] = 0

有：

S[n] = w[n - k - 1] * Y[n - k - 1] + … w[1] * Y[1] + w[0] * Y[0]

可知无论 w （w > 0 ）为多少，Y[0], Y[1], … , Y[n - k - 1] 在 S[n] 中占比 100%。

但是，我们可以控制 最后 k 个值的权重在总权重里的占比。>>参考文档<<

最后k个权重之外的权重和 / 总权重
= (w[n-k] + w[n-k-1] + w[n-k-2] + …. ) / 1
= a * ( 1 - a)^k + a * (1 - a)^(k+1) + ….
= a * (1-a) ^k * [ 1 + (1-a) + (1-a)^2 + …..]
= (1-a)^k

第四步到第五步，数学不太好的同学注意：当 1 > a > 0, n->无穷时，
a * [ 1 + (1-a) + (1-a)^2 + …..] = 1

如果我们希望最近 k 步之前的权重占比为 10%，最近 k 步权重占比 90%，根据上面的公式有：

0.1 = (1 - a) ^k
则有： a = 1 - e^(ln0.1 / k)

再看一个最近 k 步之前的权重值为一个特殊值的例子： e^-1。

我们希望最近 k 步之前的权重占比为 e^-1 = 0.3678，最近 k 步权重占比 1- e ^ -1 = 0.6321，根据上面的公式有：

e ^ -1 = (1 - a) ^k
则有： a = 1 - e^(-1 / k)

k-alpha 对照表：

k	a
1	0.6321
2	0.3934
3	0.2834
4	0.2212
5	0.1813
10	0.095
20	0.049
30	0.033
40	0.025
50	0.020
100	0.010
200	0.005

设采样周期为 interval，采样窗口为 window，那么窗口内共采样 window / interval 次。

设 k = window / interval。
则有 a = 1 - e ^ ( -1 / (window / interval)) = 1 - e ^ (- interval / window)

在这种情况下，最近 2k 步权重占比为多少呢？

1 - 忽略的权重 / 总权重 = 1 - (1-a)^2k = 1 - e ^ -2 = 1 - 0.1353 = 0.8647

对照表：

step	weight
k	0.6321
2k	0.8647
3k	0.9502
4k	0.9816

从应用的角度看，这意味着什么呢？

假设我们的 window 是 1 天，那么最近一天的权重占比 63%，最近 2 天的权重占比 86%，三天 95%，四天 98%，等等。这意味着四天之外的权重影响力只占到 2%。还啰嗦一句，这里是“权重影响力”，并不是”数据影响力“，w 和 Y 是两码事。如果四天之外的数据特别大或者特别小，对当前计算出来的值影响还是会很大的。

最后附几个例子。

图中，每个格子是 100 * 100，红色部分为 EMA曲线。

数据特征永久变化，interval = 100，window = 100，alpha = 0.2834

连续数日数据特征变化，后恢复，interval = 100，window = 100，alpha = 0.2834

某日数据突变，后恢复，interval = 100，window = 100，alpha = 0.2834

EMA 几乎跟随数据变化，interval = 1，window = 1，alpha = 0.033

在线感受一下EMA曲线和参数之间的关系吧：http://reactshare.cn/ema