2021年考研数二线性代数

一选择题 (每小题5分)

二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2−(x3−x1)2f(x_1, x_2, x_3)=(x_1+x_2)^2 + (x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2−(x3−x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为

A) 2, 0. B) 1,1. C) 2,1. D) 1,2.
设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)A=(\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3)A=(α1,α2,α3), B=(β1,β2,β3)B=(\beta_1, \beta_2, \beta_3)B=(β1,β2,β3), 若向量组α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3α1,α2,α3可以由β1,β2\beta_1, \beta_2β1,β2线性表出, 则

A) Ax=0的解均为Bx=0的解

B) ATx=0A^Tx=0ATx=0的解均为BTx=0B^Tx=0BTx=0的解.

C) Bx=0的解均为Ax=0的解.

D) BTx=0B^Tx=0BTx=0的解均为ATx=0A^Tx=0ATx=0的解.
已知矩阵A=(10−12−11−12−5)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 \\ 2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -5 \end{pmatrix}A=⎝⎛12−10−12−11−5⎠⎞若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q, 使PAQ为对焦矩阵, 则P, Q可以分别取

A) (100010001)\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}⎝⎛100010001⎠⎞,(101013001)\begin{pmatrix} 1 & 0&1\\ 0& 1&3\\0&0&1\end{pmatrix}⎝⎛100010131⎠⎞. B) (1002−10−321)\begin{pmatrix}1&0&0\\ 2& -1& 0\\ -3&2&1 \end{pmatrix}⎝⎛12−30−12001⎠⎞,(100010001)\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}⎝⎛100010001⎠⎞.

C) (1002−10−321)\begin{pmatrix} 1&0&0\\2&-1&0\\-3&2&1\end{pmatrix}⎝⎛12−30−12001⎠⎞,(101013001)\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&3\\0&0&1 \end{pmatrix}⎝⎛100010131⎠⎞. D) (100010131)\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\ 1&3&1\end{pmatrix}⎝⎛101013001⎠⎞,(12−30−12001)\begin{pmatrix} 1&2 &-3\\0&-1&2\\0&0&1\end{pmatrix}⎝⎛1002−10−321⎠⎞.

二填空题

多项式f(x)=∣xx12x1x2−121x12−11x∣f(x)=\begin{vmatrix}x&x&1&2x\\1&x&2&-1\\2&1&x&1\\2&-1&1&x \end{vmatrix}f(x)=∣∣∣∣∣∣∣∣x122xx1−112x12x−11x∣∣∣∣∣∣∣∣中x3x^3x3项的系数为___________________________.(6分)

三解答题

设矩阵A=(2101201ab)A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1&a&b \end{pmatrix}A=⎝⎛21112a00b⎠⎞仅有两个不同的特征值. 若A相似于对角矩阵, 求a,ba, ba,b的值, 并求可逆矩阵P, 使得P−1APP^{-1}APP−1AP为对角矩阵.(12分)

解析: 本题主要考察考生对一般矩阵相似对角化的理论的掌握.所涉及知识点包括:

特征值和特征向量(基础知识)
一般矩阵相似对角化理论: 如果一个矩阵所有特征值互异, 则一定可以相似对角化; 当一个矩阵存在k重特征值时, 只要k重特征值对应k个线形无关的特征向量, 那么该矩阵依然可以相似对角化.

解答:

∣2−λ1012−λ01ab−λ∣\begin{vmatrix} 2-\lambda&1&0\\ 1& 2-\lambda&0\\1&a&b-\lambda\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣2−λ1112−λa00b−λ∣∣∣∣∣∣=(b−λ)(λ−1)(λ−3)(b-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3)(b−λ)(λ−1)(λ−3)

因为矩阵A仅有两个不同的特征值, 所以当1为重特征值时, λ1=λ2=1,λ3=3\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=3λ1=λ2=1,λ3=3, 则b=1. 此时

(A−E)=(1101101a1)→(1101a1000)(A-E)=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&a&1 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&0\\1&a&1\\0&0&0 \end{pmatrix}(A−E)=⎝⎛11111a001⎠⎞→⎝⎛1101a0010⎠⎞→(1100a−11000)\rightarrow \begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&a-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}→⎝⎛1001a−10010⎠⎞

则r(A-E)=2, 这就意味着矩阵A的二重特征值为1时, 只能由一个线形无关的特征向量, 矩阵A不能相似于对角阵. 与已知矛盾.

那么可以选择λ1=1,λ2=λ3=3\lambda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=3λ1=1,λ2=λ3=3, 则b=3. 此时

(A−3E)=(−1101−101a0)(A-3E)=\begin{pmatrix}-1&1&0\\1&-1&0\\1&a&0\end{pmatrix}(A−3E)=⎝⎛−1111−1a000⎠⎞→(1−101a0000)\rightarrow \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 1&a&0\\0&0&0\end{pmatrix}→⎝⎛110−1a0000⎠⎞→(1−100a+10000)\rightarrow \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&a+1&0\\0&0&0\end{pmatrix}→⎝⎛100−1a+10000⎠⎞

则当r(A−3E)=1r(A-3E)=1r(A−3E)=1时, 二重特征值3就对应两个线形无关的特征向量, 此时a=−1a=-1a=−1.

因此就可以得到:a=−1,b=3a=-1, b=3a=−1,b=3 . 此时矩阵A=(2101201−13)A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1&-1&3\end{pmatrix}A=⎝⎛21112−1003⎠⎞

当λ1=1\lambda_1=1λ1=1时, 求得其对应的特征向量为ζ1=(−1,1,1)T\zeta_1=(-1, 1, 1)^Tζ1=(−1,1,1)T

当λ2=λ3=3\lambda_2=\lambda_3=3λ2=λ3=3时, 求得其对应的线形无关的特征向量为ζ2=(1,1,0)T,ζ3=(0,0,1)T\zeta_2=(1,1,0)^T, \zeta_3=(0,0,1)^Tζ2=(1,1,0)T,ζ3=(0,0,1)T

令P=(ζ1,ζ2,ζ3)=(−110110101)P=(\zeta_1, \zeta_2, \zeta_3)=\begin{pmatrix} -1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}P=(ζ1,ζ2,ζ3)=⎝⎛−111110001⎠⎞则有P−1AP=(133)P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&&\\&3&\\&&3\end{pmatrix}P−1AP=⎝⎛133⎠⎞为对角阵.

说明:

试题转自中国考研网.
转载的目的为了教学使用.

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