栈 stack

引入
栈的概念
代码实现
- 定义和初始化(init)
- 入栈(push)
- 出栈(pop)
- 访问栈顶元素(query)
- 查询栈的元素个数(size)
- 判断是否为空(empty)
- 清空栈(clear)
- 完整模板
- 练习题
STL的栈
- 定义
- 常见操作
表达式计算
- 后缀表达式求值
- - 例题(洛谷P1449)
- 中缀表达式转成后缀表达式
括号序列
单调栈
- 经典例题——Largest Rectangle in a Histogram
练习题
总结

今天我们来学习数据结构中最简单的——栈

引入

一只NOI选手csk因在NOI赛场上忘开longlonglonglonglonglong，本来打出了正解的题目只拿了30pts30pts30pts，结果离金牌只差了10pts10pts10pts，从而没有与心念的清北签约，加上高考的失利，走投无路的他来到食堂打工 (十年OI一场空，不开longlong见祖宗)

他当上了一名洗碗工，每天都要洗盘子

第一个人吃完饭后，送来了1,2,31,2,31,2,3号盘子，csk将这些盘子依次摆放，很快他就先后洗完了最上面的第3,23,23,2号盘子，随后，又一位客人过来，放上了第4,54,54,5号盘子，csk继续从上往下洗盘子，很快就洗完了

这种后进先出的数据结构，就是栈

栈的概念

栈是一种后进先出的数据结构，支持 入栈(push)，出栈(pop)和访问栈顶(top) 三个操作，新入栈的元素会被后入栈的元素压到下面。

代码实现

为了方便理解，代码以结构体和函数的形式

定义和初始化(init)

我们只需用一个数组和一个变量即可实现栈

struct stack{int s[MAX];//存放栈 int top;//指向栈顶的下标，初始为0
};

入栈(push)

将该元素aaa放入栈顶，即将其放到数组的最后一个位置

void push(int a){s[++top] = a;
}

出栈(pop)

将栈顶元素弹出，仅需将数组最后一个元素的指针−1-1−1即可

void pop(){if(top)//判断栈是否为空top--;
}

访问栈顶元素(query)

直接返回数组的最后一个元素即可，栈为空返回-1

int query(){if(top)return s[top];return -1;
}

查询栈的元素个数(size)

其实元素个数就是top的值

int size(){return top;
}

判断是否为空(empty)

栈为空，返回1，否则返回0

bool empty(){if(top)return true;return false;
}

当然也可写作

bool empty(){return top == 0;
}

清空栈(clear)

将数组最后元素的指针改为0即可

void clear(){top = 0;
}

完整模板

将以上和在一起即可

struct stack{int s[MAX];//存放栈 int top;//指向栈顶的下标void push(int a){//入栈s[++top] = a;}void pop(){//出栈if(top)top--;}int query(){//访问栈顶return s[top];}int size(){//返回栈元素个数return top;}bool empty(){//判断栈是否为空return top == 0;}void clear(){//清空栈top = 0;}
};

练习题

请你实现一个栈（stack），支持如下操作：

push(x)：向栈中加入一个数 xxx。
pop()：将栈顶弹出。如果此时栈为空则不进行弹出操作，输出 Empty。
query()：输出栈顶元素，如果此时栈为空则输出 Anguei!。
size()：输出此时栈内元素个数。

STL的栈

STL也为我们提供了栈
头文件 stack

#include <stack>

定义

stack <变量类型> 栈名;
stack <int> s;//定义一个名为s，int类型的栈

常见操作

支持的操作类似模板

stack <int> s; int x;
s.push(x);//在栈顶压入变量x
s.pop();//栈顶出栈
s.top();//返回栈顶
s.size();//返回栈元素个数
s.empty();//判断栈是否为空
s.clear();//清空栈

用STL的栈完成例题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){ios::sync_with_stdio(false);int T;cin >> T;while(T--){int n;cin >> n;stack <unsigned long long> a;string b;for(int i=1;i<=n;i++){cin >> b;if(b == "push"){unsigned long long c;cin >> c;a.push(c);}else if(b == "pop"){if(a.empty()) cout << "Empty\n";else a.pop();}else if(b == "query"){if(a.empty()) cout << "Anguei!\n";else cout << a.top() << "\n";}else cout << a.size() << "\n";}}return 0;
}

表达式计算

表达式的计算是栈的一大用处。
对于算术表达式，有前缀表达式，中缀表达式，后缀表达式(注：optoptopt为运算符，x,yx,yx,y表示数字)
中缀表达式： 就是我们数学中最常使用的一种表达式，例如 1+(2−3)1+(2-3)1+(2−3)
前缀表达式： 又称波兰式，就是将运算符放到数字前面，形如 optxyopt \ x \ yopt x y 表示 xoptyx \ opt \ yx opt y，例如+1−23+\ 1-2 \ \ 3+ 1−2 3
后缀表达式： 又称逆波兰式，就是将运算符放到数字后面，形如 xyoptx \ y \ optx y opt 表示 xoptyx \ opt \ yx opt y，例如23−1+2 \ \ 3 - 1 \ +2 3−1 +
对于计算机而言，我们最常使用的是后缀表达式，可以用栈O(len)O(len)O(len)(len表示表达式长度)求出它的值

后缀表达式求值

如何求后缀表达式的值？

先建立一个栈，并扫描一遍表达式
-（1）如果遇到一个数，就把它入栈
-（2）如果遇到一个运算符，就取出栈顶的两个元素进行计算，再把结果入栈

最后栈中只剩一个数，这个数就是表达式的值

例题(洛谷P1449)

所谓后缀表达式是指这样的一个表达式：式中不再引用括号，运算符号放在两个运算对象之后，所有计算按运算符号出现的顺序，严格地由左而右新进行（不用考虑运算符的优先级）。

如：3*(5-2)+7\texttt{3*(5-2)+7}3*(5-2)+7 对应的后缀表达式为：3.5.2.-*7.+@\texttt{3.5.2.-*7.+@}3.5.2.-*7.+@。在该式中，@ 为表达式的结束符号。. 为操作数的结束符号。

long long now=0;
while(cin >> ch ){if(ch=='@')break;if(ch>='0' && ch<='9'){now=now*10+ch-'0';continue;}else if(ch=='.'){sta[++top]=now;now=0;continue;}else{if(ch=='+'){sta[top-1]+=sta[top];--top;}else if(ch=='-'){sta[top-1]-=sta[top];--top;}else if(ch=='*'){sta[top-1]*=sta[top];--top;}else if(ch=='/'){sta[top-1]/=sta[top];--top;}}
}
cout<<sta[1];

中缀表达式转成后缀表达式

中缀表达式转成后缀表达式

先建立一个栈用来存储运算符，扫描一遍表达式的元素
-（1）如果遇到一个数，直接输出这个数
-（2）如果遇到左括号，把左括号入栈
-（3）如果遇到右括号，不断取出栈顶并输出，直到栈顶为左括号，再把左括号出栈
-（4）如果遇到运算符，只要栈顶运算符的优先级不低于新运算符，就不断输出并弹出栈顶，最后把新符号入栈

最后依次输出并弹出栈顶，输出的序列就是一个与原中缀表达式等价的后缀表达式

代码实现，n>0n>0n>0

char ch;//中缀表达式
unsigned long long num = 0;
map <char,int> mp;//存储运算符优先级
mp['+'] = 1; mp['-'] = 1; mp['*'] = 2; mp['/'] = 2;
//有需要自己写
stack <char> s;
while(cin >> ch){if(ch >= '0' && ch <= '9')num = num*10+ch-'0';else{if(num){cout << num << " ";num = 0;}if(ch == '(')s.push(ch);else if(ch == ')'){while(s.top() != '('){cout << s.top() <<" ";s.pop();}s.pop();}else{while(!s.empty()&&mp[s.top()]>=mp[ch]){cout<< s.top() << " ";s.pop();}s.push(ch);}}
}
if(num > 0) cout << num << " ";
while(!s.empty()){cout << s.top() << " ";s.pop();
}

括号序列

栈也经常用来匹配括号序列

对于括号序列，我们可以用类似于中缀表达式的括号处理，遇到左括号入栈，遇到右括号判断栈顶是不是不这个右括号匹配，是就出栈，不是则不合法，读者可以自己模拟一下这个过程

string str;
cin >> str;
stack <char> s
for(int i=0;i<str.size();i++){if(str[i] == '(' || str[i] == '[' || str[i] == '{'){s.push(str[i]);else{if(str[i] == ')' && s.top() == '('){s.pop(); continue;}if(str[i] == ']' && s.top() == '['){s.pop(); continue;}if(str[i] == '}' && s.top() == '{'){s.pop(); continue;}cout << "no";return 0;}
}
if(s.empty() cout << "yes";
else cout << "no";

单调栈

顾名思义，就是栈内元素具有单调性的一种栈
单调栈一般用来维护最大或最小值
现以单调递减栈为例，模拟一遍单调栈的过程

建立一个栈，扫描一遍待操作元素
-（1）如果栈内没有元素，直接入栈
-（2）如果栈顶元素比新元素大，否则持续弹出栈顶元素，直到栈顶元素比新元素大或栈为空为止，此时被弹出元素之后第一个比它大的元素即为这个新元素，最后记得把新元素入栈
-（3）栈底的元素即为被扫过元素的最大值

stack <int> s;
//a为待操作元素
for(int i=1;i<=n;i++){while(!s.empty() && a[i] > a[s.top()])s.pop();s.push(i);
}

经典例题——Largest Rectangle in a Histogram

如图所示，在一条水平线上有 nnn 个宽为 111 的矩形，求包含于这些矩形的最大子矩形面积（图中的阴影部分的面积即所求答案）。

对于这一道题，我们发现：

如果一个矩形的高度低于上一个矩形的高度，那么上一个矩形比它高的部分在之后将毫无用处

则这些没用的部分我们就可以删掉
所以，我们可以建立一个单调栈维护矩形高度，每弹出一个矩形，就把该高度矩形宽度+1+1+1，并用宽度乘高度来更新答案

#include <iostream>
#include <cstring>
#define ull unsigned long long
using namespace std;const int MAX = 1e5+10;
int top;
long long w[MAX],s[MAX],ans;int main(){ios::sync_with_stdio(false);int n;while(cin >> n){top = 0; ans = 0;memset(w,0,sizeof(w));if(n == 0) break;for(int i=1;i<=n+1;i++){long long h; if(i == n+1) h = 0;else cin >> h;if(h > s[top] || !top){s[++top] = h;w[top] = 1;}else{long long width = 0;while(top && h <= s[top]){width += w[top];ans = max(ans,width*s[top]);top--;}s[++top] = h; w[top] = width+1;}}cout << ans << "\n";}return 0;
}

练习题

请自行完成以下练习

后缀表达式

表达式的值（提示：动态规划）

括号序列

单调栈

总结

栈(stack)作为大多数人学的第一个算法 (也是最简单的一个) 它的应用十分广泛，最主要就是用于表达式的计算（其它好像没什么用）
本文字数5000，用时约6小时，求个三连不过分吧

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备战NOI 数据结构——栈与单调栈(stack) 以及后缀表达式

栈 stack

引入

栈的概念

代码实现

定义和初始化(init)

入栈(push)

出栈(pop)

访问栈顶元素(query)

查询栈的元素个数(size)

判断是否为空(empty)

清空栈(clear)

完整模板

练习题

STL的栈

定义

常见操作

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