微积分系列之一：函数、图像和直线

主要回顾以往学习过的函数和图像相关的知识。

一、函数是什么？

1、函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则，起始对象称为输入，来自称为定义域的集合。返回对象称为输出，来自称为上域的集合。

函数的本质是一种对应关系。

比如下面这种形式就定义了一个函数

$f\left ( x \right )=x^2$

f 是一个变换规则，而 f (x) 是把这个变换规则应用于变量 x 后得到的结果。

一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出。

值域是所有可能的输出所组成的集合

值域实际上是上域的一个子集，上域是所有可能输出的集合，而值域则是实际输出的集合。

2、区间表示法

3、垂线检验法

用于从图像角度来检验是否是函数的方法。

可以在坐标平面上画任何你想画的图形，但结果不一定是一个函数的图像。

关键思想：函数不可能有两个点有相同的 x 坐标，也就是一个x坐标对应2个或以上的y坐标。

例如, 以原点为中心, 半径为三个单位的圆的图像，就不是一个函数。

因为x 落在区间 (−3, 3) 上时，对于这其中的任意 x 值，垂线通过 (x, 0) 和圆相交两次。

对于函数 $y=f\left ( x \right )$ ，x对应于y，可以一x对一y，多x对一y，但不能一x对多y。

4、反函数

给定一个函数 f, 在 f 的值域中选择 y，在理想状况下，仅有一个 x 值满足 f (x) = y。（一对一）

如果上述理想状况对于值域中的每一个 y 来说都成立，那么就可以定义一个新的函数，将逆转变换。

从输出 y 出发, 这个新的函数发现一个且仅有一个输入 x 满足 f (x) = y，这个新的函数称为 f 的反函数。

$f^{-1}$ 的定义域和 f 的值域相同

$f^{-1}$ 的值域和 f 的定义域相同.

则如果有 $f(x)=y$ ，那么有 $f^{-1}(y)=x$

5、奇函数和偶函数

偶函数的图像关于 y 轴具有镜面对称性。

奇函数的图像关于原点有 $180^{\circ}$ 的点对称性。

6、常见函数及图像

线性函数的图像

形如 f(x) = mx + b 的函数称为线性函数。

点斜式

如果已知直线通过点 (x0, y0), 斜率为 m, 则它的方程为 y−y0 = m(x−x0).

求斜率

如果一条直线通过点 (x1, y1) 和 (x2, y2), 则它的斜率等于 $\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

有理函数

形如 p(x) / q(x)，其中 p 和 q 为多项式的函数，叫作有理函数。有理函数变化多样，它的图像根据 p 和 q 两个多项式的变化而变化。

指数函数和对数函数

由于 $y=2^x$ 的图像满足水平线检验, 所以该函数有反函数，这个反函数就是以2为底的对数函数 $y=\log_2\left ( x \right )$

带有绝对值的函数

绝对值的本质含义是在数轴上定义为：

|x − y|是数轴上 x 和 y 两点间的距离。

形如 f(x) = |x| 的绝对值函数

函数绝对值的图像，即以 x 轴为镜子，把 x 轴下方的图像映射上来， x 轴上方的图像保持不变。

END。

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