#816 Div2E. Long Way Home 斜率优化dp

E. Long Way Home
斜率优化dp，dijkstra

题意

给定一个 n n n 个点， m m m 条边的带权无向图，边形如 < u , v , w > <u, v, w> <u,v,w> ，起点为 1 1 1 。可以乘坐至多 k k k 次飞机，从 u u u 到 v v v ，距离为 ( u − v ) 2 (u - v) ^ 2 (u−v)2 。求到每个点的最短距离。 ( n , m ≤ 1 e 5 , k ≤ 20 ) (n, m\leq 1e5, k\leq 20) (n,m≤1e5,k≤20)

思路

当 k = 0 k = 0 k=0 时，dijkstra即可求出最短路，考虑 k = 1 k=1 k=1 时如何求。
一个显而易见的做法是在 k = 0 k=0 k=0 的基础上，枚举哪两个点之间坐了飞机。

for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= n; j++) {dis[i] = min(dis[i], old_dis[j] + (u - v)*(u - v));}
}

当然，不一定是最后一步才坐飞机，所以更新 d i s dis dis 后仍需要跑一遍dijkstra，可以得到答案。
于是我们得到了 O ( k n 2 ) O(kn^2) O(kn2) 的做法。
由于 k k k 范围很小，给了我们提示：从 0 , 1 , 2 , . . . k − 1 0,1,2,...k-1 0,1,2,...k−1 一直枚举到 k k k ，所以考虑如何优化上述转移。
将上述转移写为数学表达式
d i s [ v ] = m i n u ∈ [ 1 , n ] ( o l d _ d i s [ u ] + ( u − v ) 2 ) = o l d _ d i s [ u ] + u 2 + v 2 − 2 × u × v dis[v] = min_{u\in[1, n]} (old\_dis[u] + (u - v) ^ 2)=old\_dis[u] + u^2 + v^2 -2\times u\times v dis[v]=minu∈[1,n](old_dis[u]+(u−v)2)=old_dis[u]+u2+v2−2×u×v
上式中，因为有 u × v u\times v u×v 的项，考虑斜率优化。
设 k = − 2 u , b = o l d _ d i s [ u ] + u 2 , f ( v ) = k v + b k=-2u, b=old\_dis[u]+u^2,f(v)=kv+b k=−2u,b=old_dis[u]+u2,f(v)=kv+b ，则原式转化为 d i s [ v ] = f ( v ) + v 2 dis[v]=f(v) + v^2 dis[v]=f(v)+v2 。
其中 f ( v ) f(v) f(v) 即为所维护的斜率，因为我们需要让 f ( v ) f(v) f(v) 尽可能小，所以我们维护一个下凸包。
时间复杂度 O ( k ( m l o g n + n l o g n ) ) O(k(mlogn + nlogn)) O(k(mlogn+nlogn))
也可以优化到 O ( k ( m l o g n + n ) ) O(k(mlogn + n)) O(k(mlogn+n)) ，由于询问1-n满足单调性，所以不需要二分。

代码

struct line {int k, b;line() {}line(int k, int b) : k(k), b(b) {}double intersect(line l) {//交点double db = l.b - b;double dk = k - l.k;return db / dk;}int operator () (int x) {return k * x + b;}bool operator < (const line x) const {return k > x.k;}
};struct CHT {vector<double> x;vector<line> lines;void init(line l) {x.push_back(-INF);lines.push_back(l);}void addLine(line l) {while (lines.size() >= 2 && l.intersect(lines[lines.size() - 2]) <= x.back()) {x.pop_back();lines.pop_back();}x.push_back(l.intersect(lines.back()));lines.push_back(l);}int query(int qx) {int id = upper_bound(x.begin(), x.end(), qx) - x.begin();--id;return lines[id](qx);}
};
struct node {int dis, pos;bool operator <(const node &x)const {return x.dis < dis;}
};
const int MAXN = 1e5 + 5;
struct edge {int v, w;};
vector<edge>g[MAXN];
int dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
int n, m, k;
void Dij() {for (int i = 1; i <= n; i++)vis[i] = 0;priority_queue<node>que;for (int i = 1; i <= n; i++)que.push({ dis[i],i });while (que.size()) {auto x = que.top(); que.pop();int u = x.pos, distance = x.dis;if (vis[u])continue;vis[u] = 1;for (edge ed : g[u]) {int v = ed.v, w = ed.w;if (dis[v] > distance + w) {dis[v] = distance + w;if (!vis[v])que.push({ dis[v],v });}}}
}
void solve() {cin >> n >> m >> k;for(int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;g[u].pb({v, w});g[v].pb({u, w});}for(int i = 1; i <= n; i++) {dis[i] = INF;}dis[1] = 0;Dij();while(k--) {CHT cht;cht.init({0, 0});vector<line> lines;for(int u = 1; u <= n; u++)lines.pb({- 2 * u, dis[u] + u * u});sort(lines.begin(), lines.end());for(auto l : lines)cht.addLine(l);for(int v = 1; v <= n; v++)dis[v] = cht.query(v) + v * v;Dij();}for(int i = 1; i <= n; i++) {cout << dis[i] << ' ';}cout << endl;
}

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