python实现矢量积、叉积、外积、张量积

2024-06-26 18:54:01

张量积一般指的是Kronecker product a⊗b

很显然，该运算不遵守交换律。

import numpy as np
a = np.eye(3)
b = np.ones((3,2,3))
c = np.kron(a,b)

a

array([[ 1., 0., 0.],
[ 0., 1., 0.],
[ 0., 0., 1.]])

b

array([[[ 1., 1., 1.],
[ 1., 1., 1.]],

[[ 1., 1., 1.],
[ 1., 1., 1.]],

[[ 1., 1., 1.],
[ 1., 1., 1.]]])

c

array([[[ 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [ 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [ 0., 0., 0., 1., 1., 1., 0., 0., 0.],
        [ 0., 0., 0., 1., 1., 1., 0., 0., 0.],
        [ 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 1., 1.],
        [ 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 1., 1.]],

[[ 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [ 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [ 0., 0., 0., 1., 1., 1., 0., 0., 0.],
        [ 0., 0., 0., 1., 1., 1., 0., 0., 0.],
        [ 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 1., 1.],
        [ 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 1., 1.]],

[[ 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [ 1., 1., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
        [ 0., 0., 0., 1., 1., 1., 0., 0., 0.],
        [ 0., 0., 0., 1., 1., 1., 0., 0., 0.],
        [ 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 1., 1.],
        [ 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 1., 1.]]])

叉积 cross product，一般是两个向量之间的计算，得到一个垂直这两个向量的向量。向量必须是3维，2维向量则广播成3维（注意这里向量维不是空间维）。如果是矩阵，则是矩阵的行向量或列向量之间的运算。

import numpy as np
a = np.array([1,2,0])
b = np.array([1,0,0])
c = np.cross(a,b)

外积是Kronecker product的一种特殊形式，是两个一维向量之间的运算。

import numpy as np
a = np.array([1,2,3,4])
b = np.ones([3,1])c = np.outer(a,b)
d = np.kron(a,b)

c

array([[ 1., 1., 1.],
       [ 2., 2., 2.],
       [ 3., 3., 3.],
       [ 4., 4., 4.]])

d

array([[ 1., 2., 3., 4.],
[ 1., 2., 3., 4.],
[ 1., 2., 3., 4.]])

如果b改成1×3，那么该例d为1×12：

array([[ 1., 1., 1., 2., 2., 2., 3., 3., 3., 4., 4., 4.]])

内积没什么好说的，大家最熟悉了。

最后提一下，python(numpy)的矩阵元素相乘（elementwise）只有numpy.multiply()和*。其他np.dot()，np.matmul()均是矩阵乘。

Hadamard product (also known as the Schur product）

The Hadamard product is also often denoted using the symbol instead of .

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