斐波那契算法详解

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1、斐波那契数列的一般解法：

for循环强行计算
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#include <stdio.h>
int  main() {
int n ;
int fn = 0;
int f1, f2;
f1 = f2 = 1;
printf("请输入需要计算的第几个数：");
scanf_s("%d", &n);
if (n <= 2) {
printf(", n,f1);
//return 1;
}
else {
for (int i = 3; i <= n; i++)
{
fn = f1 + f2;
f1 = f2;
f2 = fn;
}
printf("第%d个数为%d", n, fn);
//return fn;
}
}

2、斐波那契数列的函数调用解法：

函数递归调用
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#include <stdio.h>
int fa(int n) {
int fn = 0;
int f1, f2;
f1 = f2 = 1;
if (n <= 2)
return 1;
return fa(n - 1) + fa(n - 2);
}
int main() {
int n;
printf(请输入需要计算第几个数："");
scanf_s("%d", &n);
int a = fa(n);
printf("第%d个数为%d", n, a);
return 0;
}

3、斐波那契数列的logn解法：

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用的是矩阵的乘法。原理如下图：

将斐波那契数列转换成矩阵的乘法后可以使用递归对矩阵的幂进行简化以减小空间复杂度
n为偶数时：A^n = A^n/2 * A^n/2
n为奇数时：A^n = A^n/2 * A^n/2 * A
类似二分搜索，此时时间复杂度计算logn，参照主定理推论。
具体实现方法：
1、定义一个矩阵类型（使用结构体）；
2、需要一个做矩阵乘法的函数，需要传入2个矩阵类型参数，这两个矩阵可能会不同（奇数时*初始矩阵）类型为矩阵型，返回值为矩阵型；
3、需要一个做递归的方法递归调用本身（里面调用2并传入好参数），这个函数需要接收初始矩阵和幂，返回进行乘法后的矩阵；
4、需要一个设置初始化矩阵的函数，此函数调用3并传入初始化的矩阵和幂，返回n次幂后矩阵的Fn；
5、主函数调用4输出4中返回值。
小伙伴可以尝试自己写出代码！
下面是我使用C语言写出来的撇脚代码。

实现代码如下：#include <stdio.h>
typedef struct JUZHEN {
int m11;
int m12;
int m21;
int m22;
}M;                     //定义矩阵类型    M CHENGFA(M m1,M m2) {
M m;
m.m11 = m1.m11*m2.m11 + m1.m12*m2.m21;
m.m12 = m1.m11*m2.m12 + m1.m12*m2.m22;
m.m21 = m1.m21*m2.m11 + m1.m22*m2.m21;
m.m22 = m1.m21*m2.m12 + m1.m22*m2.m22;
return m;
}                   //两个矩阵之间的乘法
M DIGUI(M m, int n) {       //这个函数做矩阵的幂，m为初始矩阵，n是幂
M result;                   //用于保存结果的矩阵
if (n ==1) {
return m;                   //递归出口
}
M mt = DIGUI(m, n / 2);          //A^n=A^n/2 * A^n/2
result = CHENGFA(mt, mt);
if (n % 2) {              //奇数
result = CHENGFA(m, result);       //n为奇数时，结果再乘一次初始的矩阵
}
return result;
}
int fab(int n) {
M m;           //构造初始矩阵
m.m11 = m.m12 = m.m21 = 1;
m.m22 = 0;
M m3 = DIGUI(m, n);      //这是n次幂后的矩阵
return m3.m12;             //返回Fn
}
int main() {
int n;
printf("请输入需要计算的第几个数：");
scanf_s("%d", &n);
int a = fab(n);
printf("第%d个数为%d",n, a);
}

因为以上内容直接复制于我的算法笔记，格式可能看起来很乱，小伙伴们如果要复制我的代码的话不要忘记使用代码自动对齐。（在vs中，选定代码后，按Ctrl+K+F组合键，可以自动进行代码对齐。）