分段函数或含绝对值符号型自由项非齐次线性微分方程求解思路

@(微积分)

总体思路是：分段分别求解，再根据连续性确定待定系数。

比如：求解微分方程y″+4y=3|sinx|在[−π,π]y''+4y = 3|sinx|在[-\pi,\pi]上的通解。

分析：分别考虑。

y″+4y=−3sinx,x∈[−π,0]y''+4y = -3 sinx , x \in [-\pi,0]

y″+4y=3sinx,x∈[0,π]y''+4y = 3sinx , x \in [0,\pi]

根据特征方程与特解的结构求出：
y=C1cos2x+C2sin2x−sinxy = C_1cos2x+C_2sin2x - sinx

y=C3cos2x+C4sin2x+sinxy = C_3cos2x+C_4sin2x + sinx

此时注意，这里用了四个常数。而对于二阶方程，通解中只能含有两个任意常数。

因此，根据在分段点x = 0处的连续性，y相等且y’相等消去两个常数，得到最终解。

limx→0−y=limx→0−C1cos2x+C2sin2x−sinx=C1\lim_{x\rightarrow 0^-}y = \lim_{x\rightarrow 0^-}C_1cos2x+C_2sin2x - sinx = C_1

limx→0+y=limx→0−C3cos2x+C4sin2x+sinx=C3\lim_{x\rightarrow 0^+}y = \lim_{x\rightarrow 0^-}C_3cos2x+C_4sin2x + sinx = C_3

因此得到C1=C3C_1 = C_3

再由y’在x = 0处连续，

limx→0−y‘=limx→0−−2C1sin2x+2C2cos2x−cosx=2C2−1\lim_{x\rightarrow 0^-}y‘ = \lim_{x\rightarrow 0^-}-2C_1sin2x+2C_2cos2x - cosx = 2C_2-1
limx→0−y‘=limx→0+−2C3sin2x+2C3cos2x+cosx=2C4+1\lim_{x\rightarrow 0^-}y‘ = \lim_{x\rightarrow 0^+}-2C_3sin2x+2C_3cos2x + cosx = 2C_4+1

得到：C2=C4+1C_2 = C_4+1

结果自然也是分段函数：

y={C3cos2x+(C4+1)sin2x−sinx,C3cos2x+C4sin2x+sinx,x∈[−pi,0]x∈[0,pi]

y = \begin{cases} C_3cos2x + (C_4+1)sin2x - sinx, &x\in[-pi,0] \\ C_3cos2x + C_4sin2x + sinx, &x\in[0,pi] \end{cases}

这种思路的形成，当面对含有绝对值和分段函数型的微分方程时，就有了前进的方向。

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