文章目录

一、正交函数族和正交多项式
- 1.1 定义
- 1.2 正交多项式的构造
- 1.3 正交多项式的性质
二、常用的正交多项式⭐
- 2.1 Legendre(勒让德)多项式
- 2.2 切比雪夫多项式
- - 最小零偏差问题

一、正交函数族和正交多项式

1.1 定义

1.2 正交多项式的构造

注：φn(x)\varphi_n(x)φn(x)是最高次项系数为1的nnn次多项式。

1.3 正交多项式的性质

(1) 正交多项式 φ0(x)\varphi_0(x)φ0(x),φ1(x)\varphi_1(x)φ1(x),…,φn(x)\varphi_n(x)φn(x)线性无关.
(2) 任一 nnn次多项式$P_n(x)均可表示为 φ0(x)\varphi_0(x)φ0(x),φ1(x)\varphi_1(x)φ1(x),…,φn(x)\varphi_n(x)φn(x)的线性组合。

以上性质证明参见课本P58。

二、常用的正交多项式⭐

2.1 Legendre(勒让德)多项式

这里的权函数ρ(x)\rho_(x)ρ(x) =1

定义
性质

正交性
递推关系
奇偶性

2.2 切比雪夫多项式

这里的权函数ρ(x)=11−x2\rho_(x) = \dfrac {1} {\sqrt{1 - x^2} }ρ(x)=1−x21

定义

性质

Tn(x)T_n(x)Tn(x)是nnn次多项式
奇偶性
正交性

最小零偏差问题

即：Pn(x)P_n(x)Pn(x)为0在给定的有界闭区间上最佳一致逼近。
最小0偏差多项式可由Tn(x)T_n(x)Tn(x)获得。

最佳一致逼近

在[-1,1]上所有首项系数为1的n次多项式Pn(x)P_n(x)Pn(x)中,21−nTn(x)2^{1-n}T_n(x)21−nTn(x)对0的偏差最小：
例题

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