【SI好文翻译】铜箔表面纹理对损耗的影响：一个有效的模型（四）
均匀雪球模型：关于雪球半径分布的信息很少，因此选择均匀平均尺寸作为第一近似值，以了解功率损耗计算的效果如何。 正如我们所观察到的，金字塔堆叠在导体表面上以或多或少的六边形形式出现。 由于这与表面上铜原子的六边形紧密堆积一致，并且由于六边形几何完全填充了平坦区域，因此我们选择这种结构进行分析，如图 14 所示。
左 - 11 个半径为 1 µm 的雪球在高度约为 5.8 µm 的六角形单元上堆叠成三层。 右 - 38 个半径为 1 µm 的雪球在六角形单元格上堆叠成三层。 两种方案的基本尺寸均为 9.4 µm。
六边形几何形状的选择对最终的功率损耗计算没有影响，但它为我们找到了填充该区域的平均尺寸雪球的下限和上限提供了基础，看起来类似于图 10 和图 11 中的 SEM 照片。
从图 14 中我们可以看到，需要三个半径的雪球来形成大约 5.8 µm 的高度，每个六边形单元的 11 个球体太少而无法填充该区域，并且每个六角形单元 38 个球体太多，无法形成图 10 和图 11 中观察到的金字塔。
因此，在我们的功率损失分析例程中，我们预计在这些下限和上限之间的某个地方会有一些均匀的雪球。 可以使用类似的过程来找到较小半径球体的下限和上限。
第一原理 功率损耗：为了评估互连的功率损耗，我们采用了玻恩近似技术，其中计算了传播电磁场的一系列高阶扰动。
原则上，该技术需要进行无数次计算，但我们可以估计每个扰动的影响以找到百分比变化。
当扰动变化与其他被忽略的影响相当时，终止过程并评估每个贡献。 在此过程中，介电损耗独立于导体损耗引起的损耗来考虑。 我们从 0 阶 Born 近似开始，如图 15 所示。
图 15. 与集总信号在微带传输线中传播时相关的 E 场的 0 阶波恩近似。假设介电介质是完全均匀的，并且假设导体是完全平坦的。
在 0 阶玻恩近似中，由信号脉冲引起的电场强度被视为在 x 方向，而磁场强度被视为在 y 方向，因为它们在 z 方向上传播。 一阶玻恩近似是当单个雪球放置在传播路径中时发生的吸收和散射，如图 16 所示。
图 16. 当入射 TEM 电磁波在 z 方向传播时，具有球形导体扰动的微带传输线的侧视图。 从导电球散射的功率显示为出射波。 球体吸收的功率将由入射波表示（为保持清晰，此图中未显示）。
在 一阶 Born 近似中，我们将入射平面波设为
根据散射截面的平均入射功率密度 计算平均散射功率ΔPsc 和平均吸收功率 ΔPabs：
这些量是通过求解球坐标中的麦克斯韦方程并应用表面阻抗所需的球体的切向边界条件来找到的，如下图 6 所述。穿透良好导电球体的结果场如图 17 所示。
图 17. 传播的入射电场和磁场强度波与良好导电球体相互作用时麦克斯韦方程组解析解的后视图。
在部分波分析的帮助下，已经找到了 一阶 Born 近似的横截面，该分析将入射波功率解释为在具有球面阻抗的切向场所需的边界条件下的吸收和散射波功率。 忽略四极和更高的多极项，分析给出：
我们可以从等式 6 中观察到，对于趋肤深度 δ(ω) 与雪球半径 ai 相比较小的高频，散射的横截面与瑞利散射辐射的经典功率相同。 在趋肤深度 δ(ω) 与雪球半径 ai 相比较小的频率下，吸收截面表现为。这些散射截面的频率相关性如图 18 所示。
图 18. 铜球的吸收和散射截面值（相对于它们的几何截面）作为频率的函数。
从图18中我们可以看出，对于半径为ai=0.2µm、ai=0.5µm或ai=1.0µm且频率低于约10 THz的导电球体，吸收截面大于散射截面，在100 GHz以下，我们可以忽略散射功率。
应用于多个雪球：正如我们在图 13 中所指出的，我们可以将铜“雪球”的粗糙表面金字塔堆叠建模为第一个近似为 Ni 球体的集合，每个球体的半径为 ai。 使用高频 的吸收截面，我们可以计算球体堆叠吸收的最大功率为：
等式 8 很重要，因为它表明在趋肤深度 δ(ω) 与雪球半径 ai 相比较小的高频下最大功率损失是无限的，仅取决于六边形区域上所有“雪球”或“锚结节”的面积相对于它们所在的平坦铜表面积。此模型中的功率损失与雪球堆积高度的 RMS 偏差或 RMS 表面粗糙度无关！(Equation 8 is important because it shows that the maximum power lost at high frequencies where the skin depth, δ(ω), is small compared to a snow-ball radius, ai, is unlimited, depending only on the area of all of the “snowballs” or “anchor nodules” on a hexagonal area relative to the flat copper surface area upon which they sit. The power lost in this model is independent of RMS deviation of the snowball stack up height or the RMS surface roughness! )
与测量的功率损耗比较：使用等式 6，我们可以计算平面上不同尺寸雪球堆叠的功率损耗与频率的函数关系：
英特尔的设计工程师将此称为平面（非哑光饰面）基板的 Huray 方程的特殊形式； 它取代了 Hammerstad 方程 (1) 作为导体功率损耗到纹理表面的预测器。
使用不同的介电介质（FR-4、Isola、Rogers、Nelco）测量了不同长度的铜微带和带状线的表面粗糙度，以测试 Huray 方程的有效性。 图 19 显示了 7 英寸高剖面走线的 VNA 插入损耗测量值与高达 50 GHz 的频率的函数关系：
图 19. 7 英寸高剖面（12 µm rms 偏差）微带的 VNA 插入损耗测量结果与具有 79 个半径为 0.5 µm 的均匀球体的 Huray 模型的预测结果与频率函数的比较。
作为对比，我们在图 20 中展示了 7 英寸微带线的低剖面表面粗糙度的结果。
图 20. 7 英寸薄型（4 µm rms 偏差）微带的 VNA 插入损耗测量结果与具有 50 个半径为 0.5 µm 的均匀球体的 Huray 模型的预测结果与频率函数的比较。
从这两个比较中我们可以看出，无论是高低表面粗糙度的插入功率损耗都很大，而且 Huray 模型准确地预测了频率高达 50 GHz 的损耗，而没有任何参考 RMS 偏差！
2 阶自然近似值：Huray 模型受益于频率低于 100 GHz 的几个意外情况：在部分波分析中，直接在结节表面计算的吸收功率给出的功率与渐近答案相同。与几何相比，吸收横截面非常小，因此我们可以对结节组进行求和，而无需考虑其周围环境。散射功率可以忽略不计，因此渐近分波分析不需要从相邻结节散射的二次场；相邻结节的筛查小到可以忽略一阶。结节表面的低电导率将它们彼此电隔离。与残留铜造成的损耗相比，表面涂层对功率损耗的影响很小。四极矩和更高的多极矩产生的功率损耗不到偶极矩的 1%。由附近的光滑导电平面引起的图像偶极子降低了吸收和散射的孤立雪球的总损耗。
结论：
通过在扁平铜箔上添加锚结节构造的粗糙表面的相对功率损耗可以使用等式 9 准确计算，其中一组均匀的铜吸收球的平均半径等于观察到的金字塔堆叠中“雪球”的半径 .相比之下，Hammerstad 经验拟合未能描述这种损失如图 21 所示。
图 21. RMS 偏差为 12 µm 的 7 英寸长、高剖面粗糙微带的插入损耗 VNA 测量结果与：左图：
基于 1948 Morgan 2-D 表面模型的经验 Hammerstad 拟合，该模型取决于 RMS 表面粗糙度和右图：第一原理分析吸收和散射 Huray 模型，仅取决于额外“雪球”的相对面积和偶极子散射依赖性。
即使后处理的结节沉积在不平坦的哑光表面上，也可能是偶然的机会使预处理的铜箔补偿为平坦的。 如果我们修正这个额外区域的相对功率损耗方程 9，我们应该将项 1 替换为平均哑光区域扰动与平坦六边形区域的比率：
这是 Huray 方程的一般形式（包括非平面哑光饰面），它应该适用于一大类表面纹理和高达 100 GHz 的频率。 它取代了 Hammerstad 方程 (1) 作为导体功率损耗到纹理表面的预测器。
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