探究白质纤维与大脑皮层surface的连接
研究生入学以来,一直在从事的一个工作,就是编写有关人脑内白质纤维与大脑皮层surface的交点的计算程序。由于在实际数据上测试的结果并不理想,不得不采用另外的方式来计算。大概花了两天时间用第二种方式更新了自己一年多的工作,还是有点感慨。工作总算可以告一段落了,撰文,以为记。
1.研究背景
人脑内有大量的白质,白质是中枢神经系统的重要组成成分,在中枢部,由神经元的轴突或长树突集聚而成。白质纤维用来传递神经信号,传导兴奋,与大脑各项工作息息相关。其中,白质纤维与大脑皮层surface,核团surface都有紧密的联系,探究白质纤维与surface哪些区域有连接,对于特异性研究纤维的功能,构建大脑结构网络、功能网络具有重要的意义。目前纤维追踪的方式一般是在volume上,从灰白质交界处设置种子点,进行纤维追踪。对于在皮层surface上,纤维具体会交于哪个点,目前并没有一套很好的算法去解决这个问题。在volume水平上,找出连接大脑区域之间的纤维的技术已经十分成熟。但也存在以下局限性:
•灰白质交界面的模糊性,导致纤维追踪过程的终点不明确,因此交点信息模糊。
•Atlas的配准,在volume水平下去配准到个体空间,偏差相对较大。
相比从volume层面,从surface层面,去探寻连接不同大脑区域的纤维连接,具有诸多优点:
•Atlas的配准,更精确,使得个体空间的分区信息更准确。
•交点、顶点信息更明确。
因此,本研究的主要内容就是:从surface层面,探究surface上指定区域间的纤维连接。
2.数学原理
2.1 fibre与surface的计算机形态学
在计算机中, 白质纤维可以看成是一系列离散的点构成的“直线”,surface是一个曲面,很多个三角面片构成。
2.2 交点求解
了解到fibre与surface的计算机形态学之后,实际上关于他们之间的交点计算,可以归结为一个直线与平面的交点计算的数学问题。如下图所示,问题归结为:通过纤维的端点和次端点构造射线,求该射线与三角形的交点。
当射线与三角形平行的时候,不存在交点,当射线与三角形所在的平面有交点时,如果交点在三角形内,是合理的结果,如果交点在三角形外,则应该舍弃。如下图所示。
然而,由于大脑surface具有沟回结构,surface具有褶皱,因此射线穿过surface的方向,也是需要考虑的。如下图所示。最终交点选定的是由内而外第一次穿过surface上的点。
整个思路的程序流程图如下:
3.数学计算过程
3.1 交点计算
求解纤维与surface相交的问题,其数学本质,就是求解射线与平面的交点问题。
设P是射线上任意一点,射线的起点为O,方向为R,则射线的方程可以表示为:
其中,向量N(A,B,C)可以看作该平面的一个法向量,D是原点(0,0,0)到平面的距离。如果射线与平面平行,则R与N的点乘为0,此时射线与平面没有交点。当射线与平面不平行时,则射线与平面相交,交点为P,那么P点的坐标满足射线方程和平面的方程,则有:
定义法向量的方向为正方向,为了保证t为正的时候,与法向量的方向一致,因此需要t的等式前加一个负号。此时,t值的正负与三角面片的位置关系如图所示。
因此射线的参数t为:
把t的值带入到射线方程,即得到交点P的坐标。
3.2 判断交点是否在三角面片内
由2中的分析可知,当射线与三角形不平行,一定可以通过联立射线和平面的方程求解,得到一个唯一的交点。但是,只有当这个交点在三角形封闭区域内,才是合理的结果。因此需要判断交点与三角形封闭区域的位置关系。
解释一下图中的结果,V0,V1,V2是三角形的三个顶点,P是交点,N是平面的法向量,假设取垂直于平面往外的方向为正方向(图中人背对的方向)。C是向量的叉乘:记为cross(PV0,V0V1),,叉乘计算,借助右手螺旋定则,需要将向量的起点放在一起。因此把C改写为:-cross(V0P,V0V1).右手螺旋定则简述为:伸出右手,四个手指由第一个向量转向第二个向量,此时,大拇指的方向即为这两个叉乘的结果的向量方向。图中的P点在三角形内部,因此cross(V0P,V0V1)的方向是垂直于平面向内,则 C=-cross(V0P,V0V1)垂直于平面朝外,与N的方向一致,因此N与C的点乘大于0。当分别以三角形的三个顶点,构建出C向量,并且N与C的点乘均大于0,那么P一定位于三角形内部。有一个小于0,P都会落在三角形外面。
3.3 选择射线穿过三角面片的方向
计算射线的起点与交点的距离,如果射线的方向与三角面片的法向量方向一致,记该距离为正,反之,为负。最后选择距离为正值且数值最小的点对应的交点,这个点作为射线与surface相交的交点。
4.函数设计
由于这块比较繁琐,略。
5.总结
写了那么多,最终被舍弃了。败给了实际数据的测试结果,最后采用距离的方式来求交点。以后有心情,再另起一篇吧。写的比较糙,有些图直接复制粘贴直接ppt里的图,很多细节都没有写进去。不想排版了,感兴趣的小伙伴可以私聊,也可以关注博主,日后将会不定期更新 Machine Learning 相关的博文,一起交流学习吧!
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