自适应滤波器：维纳滤波器2—

本文转载自：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6609317.html

前言

西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版，上一篇看到维纳滤波基本形式：最优化问题，且无任何条件约束。这次看到有约束的部分，简单整理一下思路：

　　1）拉格朗日乘子法；

　　2）线性约束最小方差滤波器（Linearly constrained minimum-variance，LCMV）;

　　3）谱估计之MVDR算法（Minimum variance distortionless response ，MVDR）；

内容为自己的学习总结，如有错误之处，还请各位帮忙指出！

一、拉格朗日乘子法

学习到含有约束条件的Wiener Filter，拉格朗日乘子法是解决：将含约束条件的优化问题转化为无约束条件优化问题的途径，故先梳理一下。

　　A-只含一个等式约束的最优化

实函数 $f(\mathbf{w})$ 是参数向量w的二次函数，约束条件是：

$\mathbf{w}^{H} \mathbf{s}=g$

其中s是已知向量，g是复常数。例如在波束形成应用中w表示各传感器输出的一组复数权值，s是一个旋转向量。假设该问题是一个最小化问题，令 $c(\mathbf{w})=\mathbf{w}^{H} \mathbf{s}-g=0+j 0$ 可以描述为：

所谓拉格朗日乘子法，就是引入拉格朗日乘子：将上述约束最小化问题转化为无约束问题，定义一个新的实函数：

$h(\mathbf{w})=f(\mathbf{w})+\lambda_{1} \operatorname{Re}[c(\mathbf{w})]+\lambda_{2} \operatorname{Im}[c(\mathbf{w})]$

现在定义一个复拉格朗日乘子：

$\lambda=\lambda_{1}+\lambda_{2}$

$h(\mathbf{w})$ 改写为：

$h(\mathbf{w})=f(\mathbf{w})+\operatorname{Re}\left[\lambda^{*} c(\mathbf{w})\right]$

至此，无约束优化问题转化完成，利用偏导求参即可，其实这是一个简化的形式，分别求解 $\lambda_{1}$ 、 $\lambda_{2}$ 也是一样的。

　　B-包含多个等式约束的最优化

实函数 $f(\mathbf{w})$ 是参数向量w的二次函数，约束条件是：

$\mathbf{w}^{H} \mathbf{s}_{\mathbf{k}}=g_{k}$

其中 $k=1,2 \ldots K$ ，方法同单个约束情况相同，求解伴随方程：

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{w}^{*}}+\sum_{k=1}^{K} \frac{\partial}{\partial \mathbf{w}^{*}}\left(\operatorname{Re}\left[\lambda_{k}^{*} c_{k}(\mathbf{w})\right]\right)=\mathbf{0}$

此时与多个等式约束联合成方程组，这个方程组定义了w和拉格朗日乘子 $\lambda_{1}, \lambda_{2} \ldots \lambda_{K}$ 的解。

二、线性约束最小方差滤波器

　　之前看到的维纳滤波都是基于最小均方误差准则，而没有添加任何约束，此处考虑含有线性约束情况下的方差滤波器，文中给了一个图：

其中 $x(n)$ 为输入信号(即u，为了与下文统一，用 $x$ 表示)， $w_{i}$ 为权重， $y(n)$ 为滤波器输出：

$y(n)=\sum_{k=0}^{M-1} w_{k}^{*} x(n-k)$

这个优化问题如果没有约束可以表述为：

$\arg \min _{\mathbf{w}} J=E\left[y^{H} y\right]$

假设 $\theta_{0}$ 为目标达到角，希望对该角度特殊处理：如果该角是目标角，希望其幅度保持不衰减，即 $\sum_{k=0}^{M-1} w_{k}^{*} e^{-j k \theta_{0}}=1$ ；反之，如果是干扰信号，希望其幅度衰减为0，即 $\sum_{k=0}^{M-1} w_{k}^{*} e^{-j k \theta_{0}}=0$ ；无论是0还是1，都是对优化问题的一种约束形式，写出更一般的约束形式：

$\sum_{k=0}^{M-1} w_{k}^{*} e^{-j k \theta_{0}}=g$

g是一个复增益。利用拉格朗日乘子法给出约束条件下准则函数（暂不考虑噪声情况）：

$J=\mathbf{w}^{H} R_{x x} \mathbf{w}+\operatorname{Re}\left[\lambda^{*}\left[\mathbf{w}^{H} \mathbf{s}\left(\theta_{0}\right)-g\right]\right]$

其中 $\mathbf{s}\left(\theta_{0}\right)=\left[1, e^{-j \theta_{0}}, \ldots, e^{-j(M-1) \theta_{0}}\right]$ ，M是权向量w的个数，则得到系数解：

$\lambda=-\frac{2 g}{\mathbf{s}^{H}\left(\theta_{0}\right) \mathbf{R}^{-1} \mathbf{s}\left(\theta_{0}\right)}$

对应最优权向量：

$\mathbf{w}_{o p t}=\frac{g^{*} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{s}\left(\theta_{0}\right)}{\mathbf{s}^{H}\left(\theta_{0}\right) \mathbf{R}^{-1} \mathbf{s}\left(\theta_{0}\right)}$

以权向量 $\mathbf{W}_{o p t}$ 表征的波束形成器称为线性约束最小方差（LCMV, linearly constrained minimum-variance）波束形成器，也称LCMV滤波器。

三、LCMV应用——MVDR算法

实际应用中信号掺杂了噪声。假设原信号s(t)，接收器收集的是不同时延的混合信号，经过采样量化后得 $x(n)$ ，现在希望通过自适应权重 $w$ 输出符合需求的 $y$ ，假设通道个数为N，给出接收通道模型：

写成矩阵形式：

进行相关矩阵求解：

可以发现如果 $w^{H} w$ 为定值，则噪声对最优权值的求解无影响，LCMV可用。

给出混合模型：

对应准则函数（此处 $g=1$ ）：

借助LCMV的分析，得出MVDR最优权重：

实际应用中，通常用时间换空间，借助遍历性近似求解相关矩阵：

给出代码：

doas=[-30 -5 40]*pi/180; %DOA's of signals in rad.
P=[1 1 1]; %Power of incoming signals
N=10; %Number of array elements
K=1024; %Number of data snapshots
d=0.5; %Distance between elements in wavelengths
noise_var=40; %Variance of noise
r=length(doas); %Total number of signals
% Steering vector matrix. Columns will contain the steering vectors of the r signals
A=exp(-i*2*pi*d*(0:N-1)'*sin([doas(:).']));
% Signal and noise generation
sig=round(rand(r,K))*2-1; % Generate random BPSK symbols for each of the
% r signals
noise=sqrt(noise_var/2)*(randn(N,K)+i*randn(N,K)); %Uncorrelated noise
X=A*diag(sqrt(P))*sig+noise; %Generate data matrix
R=X*X'/K; %Spatial covariance matrix
%MVDR
angles=-pi/2:pi/1024:pi/2; a1=exp(-i*2*pi*d*(0:N-1)'*sin([angles(:).']));
IR=inv(R); %Inverse of covariance matrix
for k=1:length(angles)
mvdr(k)=1/(a1(:,k)'*IR*a1(:,k));
end
figure;
plot(angles,abs(mvdr)/max(abs(mvdr)),'k');hold on;
xlabel('Angle in degrees')
%Estimate DOA's using the classical beamformer
for k=1:length(angles)
Classical(k)=(a1(:,k)'*R*a1(:,k));
end
plot(angles,abs(Classical)/max(abs(Classical)),'r--');grid on;
legend('MVDR','Classical Beamformer');

对应结果图：

噪声较大时：

二者就比较接近，可以发现：

信号与噪声不相关、且噪声为白噪声时，仍能求解最优权值；
噪声较大时，MVDR与无约束最优滤波效果接近，此时MVDR的优势不再明显，这也容易理解，噪声占主要成分时对波束的约束保留效果不再明显。

两点补充：

1）因为LCMV中有矩阵求逆一项，所以补充说明一点：默认不同角度信号不相干，只记录学习的理论知识，不论及技术细节处。

2）基于窄带分析。如果是宽带，则可以划分多个自带，或者利用聚焦矩阵预处理，窄带才有如下近似（且一个频带内才可以用一个频率表征）：

参考：

1. Jeffrey Foutz, Andreas Spanias, and Mahesh K. Banavar《Narrowband Direction of Arrival Estimation for Antenna Arrays》.

2. Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.

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