数学之美 - Python视角下的Peter de Jong吸引子

据说蝴蝶扇动翅膀这样一件小事，可能最终会引起对面半球的一场飓风。

— 电影《蝴蝶效应》

上面这行话来源于2004年的电影《蝴蝶效应》的开篇字幕。更早期，这段话则与气象学家Edward Lorenz有关。他发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，在对相关发现进行数学分析后，Lorenz于1963年提出了混沌理论 - Chaos Theory。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。

经过多年的发展，该理论已在气象、经济、化学、信息等诸领域得到广泛应用。但如果以混沌理论为关键词在Google上进行搜索，还会发现一些美轮美奂的艺术作品，这些艺术作品都与混沌理论中的吸引子有关。

本文节选自作者的《Python编程基础及应用》视频教程。

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1. Peter de Jong吸引子

所谓吸引子 - Attractor，是动力系统里的一个状态，系统演化会趋向那个方向靠拢。Peter de Jong是一个奇异吸引子。奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性，在初始值上的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同。奇异吸引子往往具有非整数维，如2.06维、1.2365维等。

Peter de Jong吸引子就是一个奇异吸引子，它可以由下述迭代方程描述：
xn+1=sin(ayn)−cos(bxn)yn+1=sin(cxn)−cos(dyn)x_{n+1} = sin(ay_{n})-cos(bx_{n})\\ y_{n+1} = sin(cx_{n})-cos(dy_{n}) xn+1=sin(ayn)−cos(bxn)yn+1=sin(cxn)−cos(dyn)
这个方程有4个参数，分别为a，b，c，d。随意指定x₀和y₀的值，比如(0,0)，通过上述公式，可计算得x₁和y₁。然后以x₁和y₁为基础，可计算得x₂，y₂ … 这样一直迭代-iterate计算，我们就可以获得N个平面上的点(x_i,y_i)，把这些点在坐标系中画出来，就得到Peter de Jong吸引子的图像。

#SimplePeterDeJong.py
from math import sin,cos
from matplotlib import pyplot as pltdef iteration():a,b,c,d = 0.970,-1.899,1.381,-1.506x,y = 0,0xdata,ydata = [],[]for i in range(1000000):xNew = sin(a*y) - cos(b*x)yNew = sin(c*x) - cos(d*y)x,y = xNew,yNewxdata.append(x)ydata.append(y)return xdata,ydataxdata,ydata = iteration()
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.title("Peter de Jong Attractor")
plt.scatter(xdata,ydata,s=0.005)
plt.show()

程序只有寥寥数行。首先我们从math模块导入了正弦-sin和余弦-cos函数；还导入了matplotlib中的pyplot模块并取名为plt。matplotlib是著名的C/C++语言编写的绘图包，可以很简单地生成各种图表。

iteration()函数进行迭代计算，首先初始化x = 0, y = 0，然后迭代计算100万个点，并把相应数据存入xdata,ydata列表并返回。xdata,ydata列表中存储了100万个点，其中第i个点的x轴坐标数据为xdata[i]，y轴坐标数据为ydata[i]。

plt.figure(figsize=(6,6))创建了一个长6英寸，宽6英寸的图-Figure，plt.title()函数设置了图的标题，plt.scatter()函数则在xy平面上绘制散点图，相应点的坐标数据包含在xdata及ydata列表中，s参数指定了点的绘制尺寸。plt.show()则把绘制好的图显示在屏幕上。程序运行结果如下：

在上图中，可以看到，x,y坐标的取值范围都是[-2, +2]。这是因为正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, +1]，上述x,y取值为一个sin()减去一个cos()，两者各取极值，可得[-2,+2]的值域。

这个图表示了Peter de Jong吸引子的点的分布。它表现出混沌特性，当a,b,c,d的参数值不同时，图像差异会很大。为了把图变得美观一点，我们引入颜色。

2. 彩色PDJ吸引子

#ColoredPeterDeJong.py
...
def iteration():e,f = 0.7,-1.1a,b,c,d = 0.970,-1.899,1.381,-1.506x,y,z = 0,0,0xdata,ydata,zdata = [],[],[]for i in range(1000000):xNew = sin(a*y) - cos(b*x)yNew = sin(c*x) - cos(d*y)zNew = sin(e * x) - cos(f * z)x,y,z = xNew,yNew,zNewxdata.append(x)ydata.append(y)zdata.append(z)return xdata,ydata,zdataxdata,ydata,zdata = iteration()
...
plt.scatter(xdata,ydata,s=0.005,c=zdata)
plt.show()

这段代码同前述代码有以下区别。首先，我们引用了新的参数e,f，并引入了z值。该z值以类似于x,y的方式被迭代计算，并通过zdata列表返回。

在plt.scatter()函数中，c=zdata表示每个散点的颜色从zdata列表中获取，即第i个散点的颜色数据为zdata[i]。至于matplotlib如何把zdata当中的浮点数据转换成实际的颜色，在这里作者没有深入探究。新程序的执行结果如下图。

3. 修改PDJ参数

作者尝试了几个不同的a,b,c,d参数，得到下述吸引子图像。


a,b,c,d = -0.709,1.638,0.452,1.740

a,b,c,d = 1.4,-2.3,2.4,-2.1

严格地说，上述吸引子图像远没有达到“艺术”效果。要想把上述吸引子图像画成“艺术”效果，需要图像渲染算法的知识，在这里没办法展开。其中一种比较有名的算法称之为分形火焰算法 - fractal flame algorithm。

本文节选自作者的《Python编程基础及应用》视频教程及同名教科书。想完整零基础学习Python程序设计，欢迎使用此免费视频教程。