现代信号处理——高阶统计分析（矩与累积量）
我们常见的使用信号处理方法均以二阶统计量（时域为相关函数、频域为功率谱）作为数学分析工具。相关函数和功率谱存在一些缺点，例如它们具有等价性或多重性，不能辨识非最小相位系统；又如，它们对加性噪声敏感，一般只能处理加性白噪声的观测数据。为了克服这些缺点，必须使用三阶或更高阶数的统计量，它们统称高阶统计量。基于高阶统计量的信号分析称为信号的高阶统计分析，也称非高斯信号处理。二阶统计分析只能提取信号的主要信息即概貌，而高阶统计分析则能够提供信号的细节信息。因此，高阶统计量是信号处理不可或缺的一种数学工具。早在20世纪60年代，高阶统计量就已被数学家们所研究，但由于当时没有找到适当的应用对象，这一研究并没有获得比较大的发展。只是到了20世纪80年代后期，信号处理的专家们才点燃了这一研究的燎原之火，并迅速发展成为现代信号处理的一个重要分支。
最常用的高阶统计量是高阶累积量及高阶谱。
一、高阶矩与高阶累积量的定义
考查一连续的随机变量x。若它的概率密度函数为f(x)，而g(x)是一任意函数，则g(x)的数学期望定义为
特别地，当 时，代入上式中，可得第一特征函数（矩生成函数）为：
换言之，第一特征函数是概率密度函数f(x)的Fourier逆变换。由于概率密度函数f(x)≥0，所以第一特征函数在原点有最大值，即
求第一特征函数的k阶导数，得
随机变量x的k阶（原点)矩和中心矩
分别定义为
式中，=E{x}代表随机变量x的一阶矩即均值。对于零均值的随机变量x，其k阶原点矩
和中心矩
等价。在下面的讨论中，均令随机变量和随机信号的均值为零。
在式（6.1.4）中令w=0,可求出x的k阶矩为
由于随机变量x的k阶矩可以由第一特征函数生成，故常将第一特征函数
称为矩生成函数。
第一特征函数的自然对数称为第二特征函数（累积量生成函数），记作
与k阶矩的定义式（6.1.7）相类似，也可以定义随机变量x的k阶累积量为
鉴于此，第二特征函数又称累积量生成函数。
关于单个随机变量x的上述讨论很容易推广到多个随机变量。令x1，…，xk是k个连续随机变量，它们的联合概率密度函数为f(x1，…，xk)，则这k个随机变量的第一联合特征函数定义为
上式只是高阶累积量的一种形式上的定义，并没有给出累积量的具体表达式。事实上，累积量完全可以用矩来表示。
特别地，高阶统计分析中最常用的是k=3的三阶累积量和k=4的四阶累积量。
参考教材：
现代信号处理（第三版）张贤达（编著）
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