泵引理与证明语言非正则

2024-06-04 08:18:51

DFA NFA 与 RE是等价的

原理在于RE “may be weakest language”
我们可以构造单字符自动机
接着我们可以构造并联自动机
我们可以构造串联自动机
我们可以构造星自动机
意味着我们一定可以把一个RE拼装成自动机。

有限的自动机的长度/状态(state)是有限的

顾名思义

假如可以接收长于state数量的字符串那必然成环

对于一个有限个数的自动机(假设这个有限的状态的数量为p),假如出现了一个长度大于P的字符串S,其长度为n.由鸽笼定理，必然出现某个state被访问两次以上，由自动机之间是通过跳转实现的状态转移，必然成环(自环也是环).

得到成环的DFA结构后反推性质

显然，这个DFA可以被拆分成最多三个DFA的组合
X DFA(不含有环) Y DFA (含有环) Z DFA(不含有环)
其中Y理论上因为可以无限循环，所以可以接受无限长度的字符串

所以我们先引入一个叫泵引理的东西

Q:为什么要长度大于等于p?
A:保证在串S的基础上添加任意一个字符或一个长度大于1的字符串必然对该DFA成环。

Q:为什么要让|xy|小于等于p?
A:必须让原字符串不成环，这样才使得字串重复后的新串(成环)变得有意义。

Q:为什么y长度要大于0？
A:Y是可重复部分(即将成环部分),Y为0所有证明将失去意义。

Q:为什么重复子串重复无数次之后还属于该(正则)语言?
A:因为使子串重复后仍然属于该DFA，而该DFA与RE等价。

做做题

suppose L is RE
y=0*|1*|0* 1*

we set 0^p1^p as a string from language L
let y be sub-string of 0^p,and the length of DFA state is n

if y=0ⁱ and i<=n
after repeat INF times
in new string the number of 0 is not equal to the number of 1

if y=1ⁱ and i<=n
after repeat INF times
in new string the number of 0 is not equal to the number of 1

if y is a combination of 1 and 0
the new string after trans will be
01010101010 like this
will not be 0ⁿ1ⁿ

SUPPOSE L IS regular
y=0*|1*|2*|1* 2*|1* 2* 3*| 01|12
if y is the the combination of single 0s or 1s or 2s
the number of 1 and 0 and 2 will not equal

else
if y is the mix of different number
the RANK WILL BE BREAK
like 01012 is not belong to L

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