高等数学期末总复习DAY18.常数项级数、正项级数、交错级数、绝对收敛

DAY18.

明天结束了

文章目录

DAY18.
- 常数项级数
- 正项级数
- 交错级数
- 绝对收敛

常数项级数

要清楚一个概念，以前我们学的数列和级数是两个不一样的概念，级数是求和的概念

Σn=1∞Un\Sigma_{n =1}^{\infty} U_nΣn=1∞Un 求和

判断常数项级数是否收敛或发散

当Sn→s,n→∞S_n \to s , n \to \inftySn→s,n→∞则称该常数项级数收敛

当Σn=1∞Un\Sigma_{n =1}^{\infty} U_nΣn=1∞Un收敛，则lim⁡n→∞Un=0\lim_{n \to \infty}U_n = 0limn→∞Un=0 (逆否命题也成立)

常用的常数项级数

Σn=1∞aqn{∣q∣<1收敛∣q∣⩾1发散\Sigma_{n = 1}^{\infty} a q^{n} \begin{cases} |q| \lt 1 收敛 \\ |q| \geqslant 1 发散\end{cases}Σn=1∞aqn{∣q∣<1收敛∣q∣⩾1发散

调和级数

Σn=1∞1n发散\Sigma_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散Σn=1∞n1发散

P级数

Σn=1∞1np{p>1收敛0<p<1发散\Sigma_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \begin{cases} p >1收敛\\ 0 < p < 1 发散\end{cases}Σn=1∞np1{p>1收敛0<p<1发散

正项级数

比较审敛法

{Un⩽Vn:大级数收敛,小级数收敛；小级数发散，大级数发散lim⁡∞UnVn=P:可得Σn=1∞Un和Σn=1∞Vn有相同的敛散性\begin{cases} U_n \leqslant V_n: 大级数收敛,小级数收敛；小级数发散，大级数发散 \\ \lim_{\infty} \frac{U_n}{V_n} = P :可得\Sigma_{n = 1}^{\infty} U_n 和 \Sigma_{n = 1}^{\infty} V_n有相同的敛散性\end{cases}{Un⩽Vn:大级数收敛,小级数收敛；小级数发散，大级数发散lim∞VnUn=P:可得Σn=1∞Un和Σn=1∞Vn有相同的敛散性

比值审敛法

lim⁡n→∞Un+1Un=P{P<1收敛P>1发散\lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n} = P \begin{cases} P < 1 收敛 \\ P > 1 发散\end{cases}limn→∞UnUn+1=P{P<1收敛P>1发散

交错级数

Σn=1∞(−1)n−1Un=U1−U2+U3......\Sigma_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1} U_n = U_1 - U_2 + U_3 ......Σn=1∞(−1)n−1Un=U1−U2+U3......

解题一般使用莱布尼茨定理
分两步

若Un是递减的级数即Un>Un+1U_n 是递减的级数即 U_n > U_{n+1}Un是递减的级数即Un>Un+1
Un→0,u→0U_n \to 0 ,u \to 0Un→0,u→0

则Σn=1∞(−1)n−1Un收敛\Sigma_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1} U_n收敛Σn=1∞(−1)n−1Un收敛

绝对收敛

Σn=1∞Un若Σn=1∞∣Un∣\Sigma_{n = 1}^{\infty} U_n 若\Sigma_{n = 1}^{\infty} |U_n|Σn=1∞Un若Σn=1∞∣Un∣收敛，则原级数一定收敛，称为绝对收敛

Σn=1∞Un若Σn=1∞∣Un∣\Sigma_{n = 1}^{\infty} U_n 若\Sigma_{n = 1}^{\infty} |U_n|Σn=1∞Un若Σn=1∞∣Un∣不收敛，但Σn=1∞Un\Sigma_{n = 1}^{\infty} U_nΣn=1∞Un收敛，称为条件收敛

例题

判断下列级数的收敛性

11⋅3+13⋅5+...+1(2n−1)(2n+1)+...\frac{1}{1·3}+\frac{1}{3·5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} + ...1⋅31+3⋅51+...+(2n−1)(2n+1)1+...

解：原式等于

Sn=12(1−13)+12(13−15)+...+12(12n−1−12n+1)S_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+...+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})Sn=21(1−31)+21(31−51)+...+21(2n−11−2n+11)

Sn=12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)S_n = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})Sn=21(1−31+31−51+...+2n−11−2n+11)

Sn=12(1−12n+1)S_n = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})Sn=21(1−2n+11)

则lim⁡n→∞Sn=12\lim_{n\to \infty} S_n = \frac{1}{2}limn→∞Sn=21

用到了常数项级数判断定理的第一点

即原级数收敛

例题2

1+1+21+22+1+31+32+...+1+n1+n2+...1+\frac{1+2}{1+2^2}+\frac{1+3}{1+3^2}+...+\frac{1+n}{1+n^2}+...1+1+221+2+1+321+3+...+1+n21+n+...

解：Un=1+n1+n2U_n = \frac{1+n}{1+n^2}Un=1+n21+n

而Un=1+n1+n2>1+nn+n2=1nU_n = \frac{1+n}{1+n^2}>\frac{1+n}{n+n^2}= \frac{1}{n}Un=1+n21+n>n+n21+n=n1

又因为Σn=1∞1n为调和级数发散\Sigma_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 为调和级数发散Σn=1∞n1为调和级数发散

根据比较审敛法的第一点则原级数Un=1+n1+n2U_n = \frac{1+n}{1+n^2}Un=1+n21+n也发散

例题3

141!+242!+...+n4n!+...\frac{1^4}{1!}+\frac{2^4}{2!}+...+\frac{n^4}{n!}+...1!14+2!24+...+n!n4+...

解：

lim⁡n→∞Un+1Un=(n+1)4(n+1)!/n4n!\lim_{n \to \infty}\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{(n+1)^4}{(n+1)!}/\frac{n^4}{n!}limn→∞UnUn+1=(n+1)!(n+1)4/n!n4

=lim⁡n→∞(n+1)4n4⋅n!(n+1)!=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^4}{n^4} · \frac{n!}{(n+1)!}=limn→∞n4(n+1)4⋅(n+1)!n!

=lim⁡n→∞1n+1→0=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1} \to 0=limn→∞n+11→0

又因为0<1

所以原级数收敛