文章目录

二. 一元函数积分学
- 1. 基本概念
- 2. 计算方法
- - 不定积分的计算
  - 定积分的计算
  - 反常积分的计算
  - 定积分的应用
  - 定积分的求导
- 3. 心得
- 4. 附录
- - 4.1 三角函数公式
  - - 4.1.1 二倍角
    - 4.1.2 和差化积
    - 4.1.3 其他
  - 4.2 经典积分公式
  - 4.3 点火公式
- 5. 二轮技巧（补充）
- - 5.1 分式拆项：分母能因式分解，含一次式的高次幂
  - 5.2 反余切函数的等价及导数
  - 5.3 sec的积分
  - 5.4 cot、tanx 积分
  - 5.5 反常积分的敛散性
  - 5.6 因式分解的留数法

二. 一元函数积分学

1. 基本概念

微积分：一元函数微积分和多元函数微积分

不定积分：求所有的原函数，所以求得的原函数通常要加个常数C

定积分和反常积分：若出现了∞或者闭区间内没有定义的点，且极限为无穷，就是反常积分，反之定积分。

2. 计算方法

不定积分的计算

常规套路：凑微分，换元，分部积分

公式法：善用17个 不定积分常见的等式 +12 三角函数公式变化（文末）
移动法：将dx左侧部分积到右侧（想想什么求导等于左侧）（也可以逆向）
分部积分法：适用于被积函数是两项相乘的形式（反对幂指三）
- 不定积分udv = uv - 不定积分vdu
- 优先级：指三幂对反。谁在前面移谁
- 注意转化： lnx dx = lnx * lne dx = lnx * x的0次方 dx
- 注意三角函数可能需要连续用两次建立方程。

4. 凑分母法：把分子凑成和分母一样

适用条件：
- 被积函数是一个分数
- 分母是两项相加减的形式
- 分子是分母的其中一项

换元法
- 适用条件：只要含根号，就可以用！
  
  只要使用了方法五，开除根号后，必为正。
- 若 x = sect ,还原后，不可使得t = arcsecx 代入最后结果（使得三角函数里面嵌套一个反三角函数）。需要自己在草稿上画一个三角形，自己去找关系。
万能公式法
- 适用类型：被积函数中只含数字和三角函数。
- 可以使用，但是不一定是最简单的方法。
- 令t = tan x/2
  1. 对分母求导法
- 适用题型：
  Dx+EAx2+Bx+C\frac{Dx+E}{Ax^2+Bx+C} Ax2+Bx+CDx+E
- 对分母求导，然后将分子改写成分母的导数，前面缺什么乘什么，后面缺什么加减什么。

定积分的计算

f(x)在[a,b]连续，则定积分存在
f(x)在[a,b]有界且有限个间断点，则定积分存在
先计算对应的不定积分，然后代入积分的上限和下限并作差。

反常积分的计算

开区间中不存在没定义的点 => 直接算
开区间中存在没定义的点 => 分段

定积分的应用

这是一个分解dS或者dV的过程。

求面积 + 旋转轴体积，注意空壳的体积，实际上是两个实心的面积差。

定积分的求导

积分上限求导 * 代入被积函数 - 积分下限求导 *代入被积函数

3. 心得

计算定积分时：换元必换上下限！
计算定积分时：若是计算曲面积分（曲线方程），可以将其近似看作是扇形，dS = 1/2 * 长度的平方 * 角度
求含绝对值的定积分和反常积分
- 去绝对值前先判断是否需要分段
- 可能需要分类讨论

4. 附录

4.1 三角函数公式

4.1.1 二倍角

4.1.2 和差化积

记住1，3，5.其他的都可以推

4.1.3 其他

4.2 经典积分公式

例题：

题解：

4.3 点火公式

遇到高阶的三角函数，对称的考虑奇偶性，不对称的考虑点火公式！

华里士公式（点火公式）：

5. 二轮技巧（补充）

5.1 分式拆项：分母能因式分解，含一次式的高次幂

5.2 反余切函数的等价及导数

与arctanx的等价关系：
arctanx+arccotx=π2arctanx + arccotx = \frac{\pi}{2} arctanx+arccotx=2π
推导如下：
coty=tan(π2−y)coty=tan(\frac{\pi}{2}-y) coty=tan(2π−y)
令x = coty
∴x=tan(π2−y)∴ x=tan(\frac{\pi}{2}-y) ∴x=tan(2π−y)

∴arctanx=π2−y=π2−arccotx∴ arctanx=\frac{\pi}{2}-y=\frac{\pi}{2}-arccotx ∴arctanx=2π−y=2π−arccotx
∴arctanx+arccotx=π2∴ arctanx+arccotx=\frac{\pi}{2} ∴arctanx+arccotx=2π

导数：
(arccotx)′=−11+x2(arccot x)' = -\frac{1}{1+x^2} (arccotx)′=−1+x21

5.3 sec的积分

相似地，有cscx的积分：

5.4 cot、tanx 积分

同理，需要记住下面两条等价积分：

tanx积分是ln|secx|+C
tanx的积分是-ln|cosx|+C

5.5 反常积分的敛散性

分析敛散性有两种情况，一种是区间无限的敛散，另外一种是无界的敛散。

B站参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1sr4y1Q7Np?p=2

5.6 因式分解的留数法

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