简介

卡特兰数可以比较直观地理解为：进行n次入栈和n次出栈，共有多少种出栈、入栈的组合方式。约束条件为：每一时刻的出栈次数不能多于入栈次数

推导

抛开约数条件，对于共2n次的操作，有Cn2nC2nnC_{2n}^n种操作
假设在第k次出现了非法操作，即出栈次数大于入栈次数，那么将k次之后的所有出栈改为入栈，入栈改为出栈。那么求n次入栈n次出栈的非法操作方式等价于求n-1次入栈，n+1次出栈的操作方式，易得方式数为Cn−12nC2nn−1C_{2n}^{n-1}。
所有的操作数减去非法操作数即为合法的操作数，即为Cn2n−Cn−12nC2nn−C2nn−1C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}。

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