二分算法——二分法求方程的根

问题描述：

求下面方程的一个根：f(x)=x3−5x2+10x−80=0f(x) = x^3-5x^2+10x-80 = 0f(x)=x3−5x2+10x−80=0，若求出的根是啊，则要求∣f(a)∣≤1/106|f(a)| \leq 1/10^6∣f(a)∣≤1/106

问题解析：

对f(x)f(x)f(x)求导，得f‘(x)=3x2−10x+10f^`(x) = 3x^2-10x+10f‘(x)=3x2−10x+10。由一元二次方程求根公式知方程f‘(x)=0f^`(x)=0f‘(x)=0无解，因此f‘(x)f^`(x)f‘(x)恒大于0.故f(x)f(x)f(x)是单调递增的。易知f(x)<0f(x) <0f(x)<0且f(100)>0f(100)>0f(100)>0，所以区间[0,100]内必然有且只有一个根。由于f(x)f(x)f(x)在[0,100]内是单调的，所以可以用二分的办法在区间[0,100]中寻找根。
C语言示例

#include<stdio.h>
#include<math.h>double EPS = 1e-6;
double f(double x) { return x*x*x - 5*x*x + 10*x - 80; }int main(){double root, x1 = 0, x2 = 100, y;int triedTimes = 1;root = x1+(x2-x1)/2;y = f(root);while( fabs(y) > EPS) {if( y>0 )x2 = root;elsex1 = root;root = x1+(x2 - x1)/2;y = f(root);triedTimes++;}printf("%.8f\n", root);printf("%d\n", triedTimes);return 0;
}

运行示例

注：文中问题及代码参考 MOOC——《程序设计与算法》（北京大学郭炜）
算法系列目录：
- 一、递归形式的问题
  - 汉诺塔问题（Hanoi)
  - N皇后问题
  - 逆波兰表达式
  - 四则运算表达式求值
  - 爬楼梯
  - 放苹果
  - 算24
- 二、程序或算法的时间复杂度
- 三、二分算法
  - 二分查找
  - 二分法求方程的根

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