隐含波动率

隐含波动率是市场上无法观察到的波动率，通过Black-Scholes定价公式计算出的波动率，由于无法给出解析式，因此需要借助数值计算给出近似解，主要有二分法和牛顿法.

二分法

二分法求解隐含波动率步骤如下：
1.设置隐含波动率上下限v_lo和v_hi
2.计算隐含波动率均值(v_lo+v_hi)/2代入BS期权定价公式
3.计算差值，对比精度

案例

看涨期权价格为1.8751.8751.875，标的资产价格为212121，期权行权价格为202020，无风险利率为10%10\%10%，权利期还有333个月，求隐含波动率

解析

c++二分法求解

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iomanip>
#include<random>
#include<map>
using namespace std;const double pi=3.1415926;double N(const double &x){if(x>6.0) return 1.0;if(x<-6.0) return 0.0;double b1=0.31938153;double b2=-0.356563782;double b3=1.781477937;double b4=-1.821255978;double b5=1.330274429;double p=0.2316419;double c=1.0/sqrt(2*pi);double a=fabs(x);double k=1.0/(1+a*p);double b=c*exp(-pow(x, 2)/2.0);double n=((((b5*k+b4)*k+b3)*k+b2)*k+b1)*k;n=1.0-b*n;if(x<0.0) n=1.0-n;return n;
}double BSprice(const double& S, const double& K, const double& r, const double& sigma, const double& tm){double d1=(log(S/K)+(r+pow(sigma, 2)/2))/(sigma*sqrt(tm));double d2=d1-sigma*sqrt(tm);double c=S*N(d1)-K*exp(-r*tm)*N(d2);return c;
}double binary_search(const double& S, const double& K, const double& r, const double& tm, const double price){const double EPS=1e-5;double lo=1e-5;double hi=0.5;while(lo+EPS<hi){double sigma=(lo+hi)/2;double c=BSprice(S, K, r, sigma, tm);if(c-price<0.00) lo=sigma;else hi=sigma;}return lo;
}int main(){double S=21, K=20, r=0.10, tm=0.25, price=1.875;double sigma=binary_search(S, K, r, tm, price);cout<<"二分法求隐含波动率为: "<<sigma<<endl;return 0;
}

python二分法求解

from scipy.stats import norm as N
from scipy.stats import multivariate_normal as mvn
from math import log, exp, pi
import numpy as npdef bsprice(S, K, r, sigma, tm):d1=(log(S/K)+(r+sigma**2/2))/(sigma*sqrt(tm))d2=d1-sigma*sqrt(tm)c=S*N.cdf(d1)-K*exp(-r*tm)*N.cdf(d2)return cdef binary_search(S, K, r, tm, price):EPS=1e-6hi, lo=0.5, 1e-5while lo+EPS<hi:sigma=(lo+hi)/2c=bsprice(S, K, r, sigma, tm)if c-price<0: lo=sigmaelse: hi=sigmareturn losigma=binary_search(21, 20, 0.1, 0.25, 1.875)
print('二分法求隐含波动率为: {}'.format(sigma))

牛顿迭代法

牛顿-拉夫逊(Newton-Raphson)法可以求解方程近似解.
1.将函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0附近Taylor展开
f(x)=f(x0)+(x−x0)f′(x0)+(x−x0)f′′(x0)/2!+…f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+(x-x_0)f''(x_0)/2!+\dots f(x)=f(x0)+(x−x0)f′(x0)+(x−x0)f′′(x0)/2!+…
2.取一阶展开近似
f(x)=f(x0)+(x−x0)f′(x0)f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0) f(x)=f(x0)+(x−x0)f′(x0)
求解方程f(x)=0f(x)=0f(x)=0
f(x0)+(x−x0)f′(x0)=0⇒x=x0−f(x0)/f′(x0)f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)=0\Rightarrow x=x_0-f(x_0)/f'(x_0) f(x0)+(x−x0)f′(x0)=0⇒x=x0−f(x0)/f′(x0)
得到迭代公式
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
使用牛顿法计算隐含波动率步骤如下：
1.令f(σ)=c−cBS(σ)f(\sigma)=c-c_{BS}(\sigma)f(σ)=c−cBS(σ)是关于σ\sigmaσ的一元函数
2.迭代计算隐含波动率
σi+1=σi−c−cBS(σi)∂cBS(σ)∂σ∣σi\sigma_{i+1}=\sigma_i-\frac{c-c_{BS}(\sigma_i)}{\frac{\partial c_{BS}(\sigma)}{\partial \sigma}|_{\sigma_i}} σi+1=σi−∂σ∂cBS(σ)∣σic−cBS(σi)
收敛条件为∣f(σi+1)−f(σi)∣<ε|f(\sigma_{i+1})-f(\sigma_i)|<\varepsilon∣f(σi+1)−f(σi)∣<ε.

案例

看涨期权价格为1.8751.8751.875，标的资产价格为212121，期权行权价格为202020，无风险利率为10%10\%10%，权利期还有333个月，求隐含波动率

解析

使用牛顿迭代法计算
c++计算代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iomanip>
#include<random>
#include<map>
using namespace std;const double pi=3.1415926;double N(const double &x){if(x>6.0) return 1.0;if(x<-6.0) return 0.0;double b1=0.31938153;double b2=-0.356563782;double b3=1.781477937;double b4=-1.821255978;double b5=1.330274429;double p=0.2316419;double c=1.0/sqrt(2*pi);double a=fabs(x);double k=1.0/(1+a*p);double b=c*exp(-pow(x, 2)/2.0);double n=((((b5*k+b4)*k+b3)*k+b2)*k+b1)*k;n=1.0-b*n;if(x<0.0) n=1.0-n;return n;
}double BSprice(const double& S, const double& K, const double& r, const double& sigma, const double& tm){double d1=(log(S/K)+(r+pow(sigma, 2)/2))/(sigma*sqrt(tm));double d2=d1-sigma*sqrt(tm);double c=S*N(d1)-K*exp(-r*tm)*N(d2);return c;
}double n(double x){return exp(-pow(x, 2)/2.00)/sqrt(2.00*pi);
}double newton(const double& S, const double& K, const double& r, const double& tm, const double price){const double EPS=1e-5;double sigma=(price/S)/(0.398*sqrt(tm));const int max_iter=1000;for(int i=0; i<max_iter; ++i){double c=BSprice(S, K, r, sigma, tm);double d=price-c;if(fabs(d)<EPS) return sigma;double d1=(log(S/K)+(r+pow(sigma, 2)/2))/(sigma*sqrt(tm));double vega=S*sqrt(tm)*n(d1);sigma=sigma+d/vega;}return sigma;
}int main(){double S=21, K=20, r=0.10, tm=0.25, price=1.875;double sigma=newton(S, K, r, tm, price);cout<<"牛顿法求隐含波动率为: "<<sigma<<endl;return 0;
}

参考资料

金融资产的定价理论与数值计算北京大学出版社田文昭

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