C语言用6种方法求定积分

描述问题

利用①左矩形公式，②中矩形公式，③右矩形公式 ，④梯形公式，⑤simpson公式，⑥Gauss积分公式求解定积分。

分析问题

2.1定积分

21.1定积分的定义

定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。即所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。

(图1)

设一元函数,在区间内有定义。将区间分成个小区间。设，取区间中曲线上任意一点记做，和式

若记λ为这些小区间中的最长者。当时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数 在区间上的定积分。

记：　　其中称为积分下限，为积分上限，为被积函数， 为被积式，∫ 为积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个而不是一个函数。x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a，x=bx轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号。如图

2.2言实现定积分计算的算法

22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算

假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，各个区间的长度为，即，称之为“步长”。根据定积分的定义及几何意义，定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，越大，所得结果越精确。以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思想。

复合梯形公式：

[2]

具体算法如下：

算法一

1：输入积分区间的端点值和；

2：输入区间的等分个数(要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度)；

3：计算步长；

4：对累加和赋初值；

5：计算累加和

6：算出积分值；

7：输出积分近似值，完毕。

1.2.2利用Smpson公式实现定积分的计算

假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，各个区间的长度为。在复合梯形公式的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法， 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。

具体算法如下：

算法二

1：输入积分上限和下限；

2：输入区间的等分个数(要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度)；

3：利用辛甫生公式：[2]，实现对定积分的求解(其中，均为梯形公式计算所得的结果，由此可见辛甫生公式是以梯形公式为基础的)；

4：算出积分值；

5：输出积分近似值，完毕。

1.2.3利用Guass公式实现定积分计算

Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是-1---+1的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。和下限；

2：利用Guass公式，求定积分

4：算出积分值；

5：输出积分近似值，完毕。

程序的编写

3.1程序一(左矩形公式)

3.1.1源程序

#include

#include

void main()

{double f(double x);

/*f(x)为函数举例，即被积函数*/

int i,n;

/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/

double a,b,h,;

/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/

printf(" a:\n");

scanf("%lf",&a);

printf("积分上限 b:\n");

scanf("%lf",&b);

printf("区间等分个数 n :\n");

scanf("%d",&n);

h=(b-a)/n; /*步长的计算*/for(i=1;i

{s=s+f(a+i*h)*h;

}

printf("函数 f(x) 的积分值为 s=%10.6f\n",s);

}

/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/

double f(double x)

{double y;

y=;

return (y);}

3.1.2程序一的编译运行

被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况

先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：

输入0+回车

输入2+回车

输入1000+回车

3.2程序二(中矩形公式)

3.2.1源程序

#include

#include

void main()

{double f(double x);

/*f(x)为函数举例，即被积函数*/

int i,n;

/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/

double a,b,h,;

/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/

printf(" a:\n");

scanf("%lf",&a);

printf("积分上限 b:\n");

scanf