循环赛赛程表的分治法实现

一．问题介绍

二．算法思想：

1.分治法的基本思想

2.问题规模扩大的算法思想：

3.填充算法思想

三．算法思想C语言描述

1.非递归法：

2.递归调用的方法：

一．问题介绍

设有n=2k（k=1,2,…）个运动员要进行循环赛，现在设计一个满足要求的比赛日程表；

有如下要求：

1每个选手要与其他n-1个选手进行一次比赛；

2每个选手明天只能比赛一次；

3循环赛为期n-1天；

首先我们先来看当k=1时的比赛情况

这时有两名选手；

选手	对战者
1	2
2	1

此时需要进行1场比赛，

当k=2，有四个运动员时

选手	对战者
1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	1	2
4	3	2	1

此时观察表格，

表格意义：的是在第i行，第j列，表示第i位选手，第j天遇到的选手；

根据分治法的意义我们可以将n/2个选手分为一组，则如下图所示：

选手	对战者
1	2	3	4
2	1	4	3
3	4	1	2
4	3	2	1

二．算法思想：

1.分治法的基本思想

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易的解决。

该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。

该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

2.问题规模扩大的算法思想：

当n=4时，我们填充的二元组为4*4，

I<=2时为初始数组；

（1，1）时为1；（1，2）时为2

（2，1）时为2；（2，2）时为1；

以此类推当i>2时；

（i，1）为i+n/2；（i，2）时为i+n/2+1；

此时二元组为：

选手	对战者
1	2
2	1
3	4
4	3

3.填充算法思想

划分到2个选手时已经为最优子结构，当拓展到4个选手时不难发现，

表格对角相同，满足关系

左上角与右小角：a[i][j]=a[i+n/2][j+n/2]

右小角与左上角：a[i][j]=a[i-n/2][j+n/2]

当k=3时，有8个运动员；如图

选手	对战者
1	2	3	4	5	6	7	8
2	1	4	3	6	5	8	7
3	4	1	2	7	8	5	6
4	3	2	1	8	7	6	5
5	6	7	8	1	2	3	4
6	5	8	7	2	1	4	3
7	8	5	6	3	4	1	2
8	7	6	5	4	3	2	1

此时上述思想也成立。

三．算法思想C语言描述

1.非递归法：

非递归：

void GameTable_1(int n) {size_t s = n;int k = 0;while (s = s >> 1) { k++; }       //通过位运算获得K值；//初始化a[0][0] = 1;a[0][1] = 2;a[1][0] = 2;a[1][1] = 1;for (int i = 2; i <= k; i++) {                             //从K=2，n=4开始填充，直到将整个表填充完；int length = 0x1 << i;   //使length获得当前组的人数值；int half = length >> 1;  //half=length/2;//左下角的子表中项为左上角子表对应项加half=2^(i-1)for (int row = 0; row < half; row++) {          //填充每一个子结构for (int col = 0; col < half; col++) {a[row + half][col] = a[row][col] + half;}}//填充右上角for (int row = 0; row < half; row++) {for (int col = 0; col < half; col++) {a[row][col + half] = a[row + half][col];}}//填充左下角for (int row = 0; row < half; row++) {for (int col = 0; col < half; col++) {a[row + half][col + half] = a[row][col];}}}for (int i = 0; i < n; i++) {             //输出结果for (int j = 0; j < n; j++) {printf("%d  ", a[i][j]);}printf("\n");}}

2.递归调用的方法：

int GameTable_2(int n, int k) {if (n == 2) {                     //子问题为2位参赛队伍b[k][0] = k + 1;b[k][1] = k + 2;b[k + 1][0] = k + 2;b[k + 1][1] = k + 1;}else {                                  //当问题大于2时，通过递归调用直到问题等于2到达递归出口；GameTable_2(n / 2, k);GameTable_2(n / 2, k + n / 2);//填充剩余表格for (int i = k; i < k + n / 2; i++) {for (int j = n / 2; j < n; j++) {b[i][j] = b[i + n / 2][j - n / 2];}}for (int i = k + n / 2; i < k + n; i++) {for (int j = n / 2; j < n; j++) {b[i][j] = b[i - n / 2][j - n / 2];}}}

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