1 快速傅里叶分析
- 1.1 快速傅里叶(FFT)分析是什么
- 1.2 示波器采集到的实际波形如何进行傅里叶分析
- 1.3 FFT补零的作用
- 1.4 分贝dB
2 代码实现
- 2.1 Unity中使用MathNet.Numerics库
- 2.2 补零的FFT实现
- 2.3 将幅值换算为分贝值
- 2.4 提取需重点观察的频谱部分
- 2.5 思考问题
3 完整项目
4 参考文章

上一篇《Unity3D C# 信号FFT分析之自定义波形UI控件》我们为了将采集到的波形展示出来，特意写了个脚本来绘制波形图。
这一篇我们将用一个实际采集到的5MHz的超声波探头信号来进行fft分析，并将频谱图绘制出来。效果如下。

闲话少说，直接进入主题。咱们先来看看理论基础，然后再看代码怎么写。

1 快速傅里叶分析

1.1 快速傅里叶(FFT)分析是什么

学过信号与系统的同学应该知道，任何一个周期信号都可以分解为无数个正弦波的叠加，傅里叶分析就是把这些正弦波给求出来。
那么快速傅里叶又是什么呢？我们现实生活中实际采集到信号都是离散的，而且大多数不是周期信号，那能否对这样的信号进行傅里叶分析呢，当然可以的，对应的分析就是离散傅里叶分析。快速傅里叶就是离散傅里叶分析的一种实现。
其实博主之前一直有个问题没弄明白，我们为什么要进行傅里叶分析？
答案是换个角度看待问题，由于看待问题的角度变了，将会得出一些有意义的结论。一个杂乱无章的信号，比如说声音，从时域上看都是杂乱无章的，但是从频域上看就会发现男生的声音低频的能量较强，女生的声音高频的能量较强。
可参考李永乐老师的视频：傅立叶变换如何理解？美颜和变声都是什么原理？李永乐老师告诉你

1.2 示波器采集到的实际波形如何进行傅里叶分析

首先拿到一个波形的数据，我们必须先知道这个波形一共有多少个点，整个波形的采集时间是多长。比如Demo中提供的数据是2500个点，整个波形的时间是10μs。那么采集周期(即两个点的时间间隔)为10μs/2500 = 4ns，整个频谱带宽是1/4ns = 250MHz。因为我们的波形有2500个点，那么经过fft分析后也将得到一个2500个点的频谱数据，且频谱数据中任意相邻两个点的频率间隔是相同的，即Δf=1/10μs=0.1MHz(这也说明Demo中提供的波形，能分解出的正弦波最小正弦分量为0.1MHz)。
为什么是这样的对应关系以及傅里叶变换的完整解析，见《FFT后的物理意义》说得特别清楚。这里我就直接引用过来了。

我们以一个实际的信号为例来说明：
示波器采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析精确到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析精确到0.5Hz。如果要提高频率分辨率，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
下面这幅图更能够清晰地表示这种对应关系：

变换之后的频谱的宽度（Frequency Span）与原始信号也存在一定的对应关系。根据Nyquist采样定理，FFT之后的频谱宽度（Frequency Span）最大只能是原始信号采样率的1/2，如果原始信号采样率是4GS/s，那么FFT之后的频宽最多只能是2GHz。时域信号采样周期（Sample Period）的倒数，即采样率（Sample Rate）乘上一个固定的系数即是变换之后频谱的宽度，即 Frequency Span = K（1/ΔT），其中ΔT为采样周期，K值取决于我们在进行FFT之前是否对原始信号进行降采样（抽点），因为这样可以降低FFT的运算量。如下图所示：

可见，更高的频谱分辨率要求有更长的采样时间，更宽的频谱分布需要提高对于原始信号的采样率，当然我们希望频谱更宽，分辨率更精确，那么示波器的长存储就是必要的！它能提供您在高采样率下采集更长时间信号的能力！

这一点很重要，是我们的理论基础，只有弄明白了代码才写得出来。

1.3 FFT补零的作用

补零的作用有2个：
①在做fft分析时，如果点数是2的整数次方，这样可以提高运算效率(为什么可以提高，得看fft算法的代码具体实现了，这里我也没去详细了解，就不误人子弟啦)。所以如果如果数据点数不是以2为基数的整数次方，可以在原始数据开头或末尾补零，即将数据补到以2为基数的整数次方。由于Demo中的波形数据点数是2500点，不是2的整数次方所以需要补零，demo中是前后各补了一部分，一共补到了16384=2¹⁴个点。
②补零后可以让频谱图看起来更加的平滑。注意，仅仅是看起来更加光滑，并不能降低可提取的最小分辨率。
这部分可看这篇文章《快速傅里叶变换(FFT)中为什么要“补零”》，也说得特别清楚。

1.4 分贝dB

大家在说声音大小的时候一般会用到分贝这个单位，那么分贝到底是什么呢？

分贝dB定义为两个数值的对数比率，这两个数值分别是测量值和参考值（也称为基准值）。
两种定义情况。
一种为功率之比：

一种为幅值之比：

下标为0的数值均为幅值和功率的参考值。功率量的例子如：声功率(W)，声强(W/m^{2)，电功率，电强等。幅值量的例子如：声压(Pa)，电压(V)，加速度(m/s}2)，温度等。但有一点要注意对于场量的幅值应该是RMS值，如声压场。
因为分贝值完全依赖于测量值与参考值之比，因此，计算时选择合适的参考值尤为关键。当测量结果相互比较时，这一点非常重要，选择的参考值不同，计算结果肯定不一样。常见信号的dB参考值如下表所示

注：没有特殊要求时，参考值通常为1。

具体见这篇文章《什么是分贝dB?》。
有几个dB值比较常用，需要重点关注。
6dB表示幅值的2倍；12dB表示幅值的4倍；20dB表示幅值的10倍；40dB表示幅值的100倍。

2 代码实现

2.1 Unity中使用MathNet.Numerics库

打开vs，进入Nuget包管理器。

然后输入Math进行搜索，并选中MathNet.Numerics，右侧选中点击安装。

将弹出提示，点击确定即可。

然后打开项目目录，找到Packages文件夹中的MathNet.Numerics插件文件夹。

里面有好几个版本，我们选择net461那个版本。

将其拷贝出来，然后在Unity的Assets文件夹下新建一个Plugins文件夹，将拷贝的dll复制过去。

然后我们就可以愉快的使用MathNet.Numerics进行fft分析啦。

2.2 补零的FFT实现

demo中是将信号前后补充相同个数的零到16384=2¹⁴个点，至于为什么补零，见1.3节。
我们需要使用原有信号来构建一个Complex32(复数)的数组，然后才能进行fft分析。
补零的地方，实部和虚部全为0；采集到的信号部分，实部就用采集到的值，虚部为0。
复数数组构建完毕后使用Fourier.Forward来进行fft分析。

//fouierArr为刚构建的复数数组
Fourier.Forward(fouierArr, FourierOptions.Matlab);

然后将经过fft分析后的复数数组求模即可得到频率点的幅值数组。

public const int FftWithZeroAllPoints = 16384;              // 补零后的波形总点数/// <summary>
/// 补零后的傅里叶变换.
/// </summary>
public static float[] FftAddZeros(float[] wave)
{int fftPoint = FftWithZeroAllPoints;// 补零，补零后的波形总点数为16384，分别在波形前面、后面各补一半// 补零是为了让频谱图看起来更加光滑，见这篇文章：https://blog.csdn.net/xingsongyu/article/details/103390317?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-2&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-2int zeroPoint = (fftPoint - wave.Length) / 2;float[] real = new float[fftPoint];             // 实部float[] img = new float[fftPoint];              // 虚部for (int i = 0; i < fftPoint; i++){if (i >= zeroPoint && i < (zeroPoint + wave.Length)){real[i] = wave[i - zeroPoint];}else{real[i] = 0;}img[i] = 0;}Complex32[] fouierArr = new Complex32[fftPoint];for (int i = 0; i < fftPoint; i++){fouierArr[i] = new Complex32(real[i], img[i]);}Fourier.Forward(fouierArr, FourierOptions.Matlab);float[] result = new float[fftPoint];          // 傅里叶变换后的内容for (int i = 0; i < fftPoint; i++){result[i] = fouierArr[i].Magnitude;}return result;
}

2.3 将幅值换算为分贝值

幅值换算为分贝值的定义如下，见1.4节。

参考值我们选择为1，注意前面乘的是20。

// 计算分贝值
// 幅值转换为dB
// 参考值选择的1
float dbValue = (float)(20 * Math.Log(xx) / Math.Log(10));

2.4 提取需重点观察的频谱部分

上图是我们补零的信号后的完整频谱图。
大家会发现信号经过fft分析后是左右完全对称的，为什么是这样的？见这篇文章《FFT（快速傅里叶变换）中频率和实际频率的关系》它能给你答案。
我们只需关注红框部分，那才是我们真正的信号，其他部分都是补零的部分。

Demo中的给出的波形是0.5MHz~5MHz，那么我们只需要关注这部分的频谱图即可。那么问题来了，0.5MHz和5MHz分别对应到频谱数据中的哪个点呢？
1.2节中原理已经说得比较明白，结合代码相信大家一看就能明白。

//此波形的采集总时间是10微秒，共2500个点，则采集周期为4ns = 10μs/2500
//所以整个波形的带宽为250MHz = 2,5000,0000Hz = 1.0 / 4ns
//这个公式是怎么来的？见这篇文章 FFT后的物理意义:https://blog.csdn.net/iloveyoumj/article/details/53308142
float allBandWidth = 1f / (4 * Mathf.Pow(10, -9));
//我们只观察0.5MHz~5MHz这段数据
//为什么只观察这段数据？因为用仪器(这里用的阻抗仪)来产生这段波形的时候，使用的频率范围是0.5MHz~5MHz
//这个范围不影响分析结果的，只是提取出来方便我看一点
//0.5MHz和5MHz对应频谱上的点
int startFrequencyPointOnFFT = (int)(FftUtil.FftWithZeroAllPoints * 5 * Mathf.Pow(10, 5) / allBandWidth);   //0.5MHz
int stopFrequencyPointOnFFT = (int)(FftUtil.FftWithZeroAllPoints * 5 * Mathf.Pow(10, 6) / allBandWidth);    //5MHz
//对0~0.5MHz这部分进行高通滤波(其实就是缩小点倍数)
for (int i = 0; i < startFrequencyPointOnFFT; i++)
{fftAddZeros[i] *= 0.05f;
}
float[] watchRangeFftData = new float[stopFrequencyPointOnFFT];
Array.Copy(fftAddZeros, watchRangeFftData, stopFrequencyPointOnFFT);

代码中对0.5MHz之前的部分进行了高通滤波，其实就是将之前的部分乘了个很小的数，如0.05，将其过滤掉。
Demo中还画出了一个只观察[最高dB-44dB，最高dB]的频谱图，为什么提取这部分出来呢，因为这部分能量最强，我们需要重点观测。三个频谱图如下。

2.5 思考问题

大家有空可以想想怎么求出最高dB-6dB的起始频率、结束频率、中心频率和相对带宽。
最高dB-6dB起始频率和结束频率很好求，最高dB我们是能计算出来的，那么-6dB的值我们也知道了。然后根据这个值我们去0.5MHz~5MHz这部分的频谱数据中去找到最接近的那两个点(其实就是遍历就行了)。
-6dB中心频率 = 结束频率 - 起始频率 / 2
-ddB相对带宽 = (结束频率 - 起始频率) / 中心频率 * 100
最后计算出的结果如下：
-6dB起始频率 1.98MHz
-6dB结束频率 2.98MHz
-6dB中心频率 2.48MHz
-6dB相对带宽 40.56%

3 完整项目

项目上传到这儿了。
链接：https://pan.baidu.com/s/1qrkavvpUnw6Nkfh-2NK-FQ
提取码：k8ex

博主本文博客链接。

4 参考文章

FFT后的物理意义
快速傅里叶变换(FFT)中为什么要“补零”
什么是分贝dB?
FFT（快速傅里叶变换）中频率和实际频率的关系
傅立叶变换如何理解？美颜和变声都是什么原理？李永乐老师告诉你

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