曼哈顿距离和切比雪夫距离

2024-05-10 17:20:58

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本文只讨论二维空间中的曼哈顿距离与切比雪夫距离

曼哈顿距离

定义

设平面空间内存在两点，它们的坐标为(x1,y1) (x2,y2) .

则 $dis = | x1 - x2 | + | y1 -y2|$

即两点横纵坐标差之和, 两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离

煮个栗子

如图所示，图中A,B 两点的曼哈顿距离为AC+BC=4+3=7

切比雪夫距离

定义

设平面空间内存在两点，它们的坐标为(x1,y1)，(x2,y2)

则dis=max(|x1−x2|,|y1−y2|)

即两点横纵坐标差的最大值

再煮个栗子

dis=max(AC,BC)=AC=4

两者之间的关系

两者的定义看上去好像毛线关系都没有，但实际上，这两种距离可以相互转化！

我们考虑最简单的情况，在一个二维坐标系中，设原点为(0,0)

如果用曼哈顿距离表示，则与原点距离为1的点会构成一个边长为√2的正方形

如果用切比雪夫距离表示，则与原点距离为1的点会构成一个边长为2的正方形

仔细对比这两个图形，我们会发现这两个图形长得差不多，他们应该可以通过某种变换互相转化。

事实上,

将一个点(x,y)的坐标变为 $(x+y ,x-y)$ 后,原坐标系中的曼哈顿距离 == 新坐标系中的切比雪夫距离

将一个点(x,y)的坐标变为 $( \frac{x+y}{2} ,\frac{x-y}{2})$ 后,原坐标系中的切比雪夫距离 == 新坐标系中的曼哈顿距离

用处

切比雪夫距离在计算的时候需要取max，往往不是很好优化，对于一个点，计算其他点到该的距离的复杂度为O(n)

而曼哈顿距离只有求和以及取绝对值两种运算，我们把坐标排序后可以去掉绝对值的影响，进而用前缀和优化，可以把复杂度降为O(1) .

题目 : https://www.luogu.org/problemnew/show/P3964

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