线性方程组的求解问题

本节内容可以联系之前的代数知识理解，因为本质上方程组问题就是向量组问题

该部分的完整解题流程是：

根据有解的条件判断是否有解
在有解的情况下确定通解的结构
解出来，且指明 k 1 . . . k s k_1...k_s k1...ks为任意常数

这部分内容涉及基础解系和特解两方面，其中特解是非齐次线性方程组涉及的

齐次

对于齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0，矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n意味着有 m m m行个方程式子和 n n n个未知数。 x x x是一个具有 n n n个分量的列矩阵

其通解为 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k s ξ s k_1\xi_1+k_2\xi_2+...+k_s\xi_s k1ξ1+k2ξ2+...+ksξs，其中 ξ s \xi_s ξs是一个 n n n维的列向量， s s s取决于自由度。

因为矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n在进行初等行变换之后会化为一个秩 r ( A ) = r ≤ n r(A)=r\le n r(A)=r≤n的矩阵， r r r是独立方程（也称为约束）的个数，也就是该方程组能确定 n n n维中的 r r r个维度，但是仍然剩余 s = n − r s=n-r s=n−r个维度不能被约束，所不能被约束的维度会张成一个 s s s维空间，即解的空间。

※对于非齐次方程组 A x = b Ax=b Ax=b的某两个解 η 1 \eta_1 η1和 η 2 \eta_2 η2，作差 η 1 − η 2 \eta_1-\eta_2 η1−η2就是齐次方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0的一个解

因为 A η 1 = 0 A\eta_1=0 Aη1=0和 A η 2 = 0 A\eta_2=0 Aη2=0作差可以得到，类似地也有 A ( η 1 + η 2 ) = 2 b A(\eta_1+\eta_2)=2b A(η1+η2)=2b

【例】对于下面的方程组

{ x 1 + x 2 − 3 x 4 − x 5 = 0 x 1 − x 2 + 2 x 3 − x 4 = 0 4 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 − 4 x 5 = 0 2 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 − 7 x 5 = 0 \begin{cases} x_1+x_2-3x_4-x_5=0\\ x_1-x_2+2x_3-x_4=0\\ 4x_1-2x_2+6x_3+3x_4-4x_5=0\\ 2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5=0\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+x2−3x4−x5=0x1−x2+2x3−x4=04x1−2x2+6x3+3x4−4x5=02x1+4x2−2x3+4x4−7x5=0
能够写成矩阵形式并化简

A = ∣ 1 1 0 − 1 − 1 1 − 1 2 − 1 0 4 − 2 6 3 − 4 2 4 − 2 4 − 7 ∣ → 初等行变换化简为 ∣ 1 1 0 − 3 − 1 0 − 2 2 2 1 0 0 0 3 − 1 0 0 0 0 0 ∣ A=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\ 2 & 4 & -2 & 4 & -7 \\ \end{matrix} \right| \xrightarrow {初等行变换化简为} \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right| A= 11421−1−24026−2−1−134−10−4−7 初等行变换化简为 10001−2000200−3230−11−10

因为该阶梯矩阵秩为3，所以任意找出三个列组成秩为三的子矩阵即可，在这里选取一、二、四列。由这些列可以唯一地确定三维空间内的解（即确定五个未知量中的三个），但是由于空间是五维的（未知量的个数有五个），所以仍有两个维度不能确定，它们属于自由未知量。故取剩余第三、五列元素 x 1 x_1 x1和 x 3 x_3 x3设为自由未知量，令 x 3 = k 1 x_3=k_1 x3=k1， x 5 = k 2 x_5=k_2 x5=k2，则 A x = 0 Ax=0 Ax=0即下式：

∣ 1 1 0 − 3 − 1 0 − 2 2 2 1 0 0 0 3 − 1 0 0 0 0 0 ∣ ∣ x 1 x 2 k 1 x 4 k 2 ∣ = 0 \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ k_1\\ x_4\\ k_2 \end{matrix} \right|=0 10001−2000200−3230−11−10 x1x2k1x4k2 =0
根据题意解的结构肯定是 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 k_1\xi_1+k_2\xi_2 k1ξ1+k2ξ2则它大概长底下这样
ξ 1 = ( □ □ 1 ⋅ k 1 □ 0 ⋅ k 2 ) ξ 2 = ( □ □ 0 ⋅ k 1 □ 1 ⋅ k 2 ) \begin{matrix} \xi_1=(□\text{ }□\text{ }1·k_1\text{ }□\text{ }0·k_2\text{ })\\ \xi_2=(□\text{ }□\text{ }0·k_1\text{ }□\text{ }1·k_2\text{ }) \end{matrix} ξ1=(□ □ 1⋅k1 □ 0⋅k2 )ξ2=(□ □ 0⋅k1 □ 1⋅k2 )

其中 □ □ □是被约束的维度（即 x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2、 x 4 x_4 x4），先不看他，主要是三和五这两个。因为基础解析的要求是线性无关，所以这俩位置一个填0另一个填1是最简单的形式（如上），但是未必是最优的，因为不一定方便计算，至少在本题用下面这种更方便：

ξ 1 = ( □ □ 1 ⋅ k 1 □ 0 ⋅ k 2 ) ξ 2 = ( □ □ 0 ⋅ k 1 □ 3 ⋅ k 2 ) \begin{matrix} \xi_1=(□\text{ }□\text{ }1·k_1\text{ }□\text{ }0·k_2\text{ })\\ \xi_2=(□\text{ }□\text{ }0·k_1\text{ }□\text{ }3·k_2\text{ }) \end{matrix} ξ1=(□ □ 1⋅k1 □ 0⋅k2 )ξ2=(□ □ 0⋅k1 □ 3⋅k2 )

随后解出 x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2、 x 4 x_4 x4，即用 k 1 k_1 k1和 k 2 k_2 k2表示 x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2、 x 4 x_4 x4。按下述方法整理即可

∣ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ∣ = ∣ − k 1 + 2 7 k 2 k 1 + 5 2 k 2 k 1 k 2 3 k 2 ∣ = k 1 ∣ − 1 1 1 0 0 ∣ + k 2 ∣ 2 7 5 2 0 1 3 ∣ \left| \begin{matrix} x_1 \\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5 \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} -k_1+\frac27k_2 \\ k_1+\frac52k_2\\ k_1\\ k_2\\ 3k_2 \end{matrix} \right|=k_1\left| \begin{matrix} -1\\1\\1\\0\\0 \end{matrix} \right|+k_2\left| \begin{matrix} \frac27\\ \frac52\\0\\1\\3 \end{matrix} \right| x1x2x3x4x5 = −k1+72k2k1+25k2k1k23k2 =k1 −11100 +k2 7225013

其中 k 1 k_1 k1、 k 2 k_2 k2是任意常数

非齐次

非齐次线性方程组的求解和上面的齐次形式类似，但是其解的结构是 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + . . . + k s ξ s + η k_1\xi_1+k2\xi_2+...+k_s\xi_s+\eta k1ξ1+k2ξ2+...+ksξs+η，其中 s = n − r ( A ) s=n-r(A) s=n−r(A)， η \eta η是一个特解

并且矩阵应当写为增广矩阵的形式，即对于方程 A x = b Ax=b Ax=b，要处理的矩阵是 [ A ∣ b ] [A|b] [A∣b]

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