基于香农极限的信道容量分析（信息论小组作业）
前言：信道是通信系统中的重要部分，是传输信息的载体，其任务是以信号的形式传输信息，存储信息，其中对于信道的研究主要是研究其上能够传输和储存的最大信息量，也就是信道容量问题。
一．香农公式的背景及应用
根据信道输入输出信号的特点可将信道分为离散信道、连续信道、半离散半连续信道和波形信道，其中波形信道是实际通信系统中主要信道，波形信道的输入输出信号在幅度和时间上均是连续的。
在有扰信道中，有加性噪声和乘性噪声两大类，而对于香农极限的公式背景则是在加性白高斯噪声下，即AWGN信道，这里我们将噪声记为n（t），则对于单符号信道可表示为：
y（t）=x（t）+n（t）
这里我们即可证明条件熵H(Y|X)是由噪声引起的。
如果在限时、限频条件下：
C=Wlog2(1+Ps/N0W) （bit/s）
其中W为信道带宽，N0/2是高斯白噪声的功率谱密度，Ps是信号的平均功率，Ps/N0W是信道的信噪比。故公式也可写作C=Wlog2(1+S/N)。
香农公式表明，当信号与信道加性高斯白噪声的平均功率给定时，在具有一定频带宽度的信道上，理论上单位时间内可能传输的信息量的极限数值。
只要传输速率小于等于信道容量，则总可以找到一种信道编码方式，实现无差错传输；若传输速率大于信道容量，则不可能实现无差错传输。
由香农公式可以得到以下结论：
1.增大信号功率S可以增加信道容量，若信号功率趋于无穷大，则信道容量也趋于无穷大。
2.减小噪声功率N（或减小噪声功率谱密度N0/2），可以增加信道容量，若噪声功率趋于0（或噪声功率谱密度N0 趋于0），则信道容量趋于无穷大。
3.增大信道带宽W可以增加信道容量，但不能使信道容量无限制增大，信道带宽B趋于无穷大时，信道容量的极限值为：
这也说明了即使带宽无限，信道容量依旧是有限的，这与带宽增大噪声功率也在增大是有关系的。、
4.信道容量一定时，带宽W和信噪比S/N之间可以彼此互换。
若拥有较大的传输带宽，则可保证在信号功率大小不变的情况下，允许更大的噪声通过，从而提升了信道的抗干扰能力，而现代无线通信的扩频系统也正是利用这个原理。
二．由奈奎斯特带宽推导香农公式
首先从奈奎斯特带宽开始，也就是 C=2W
奈奎斯特带宽被描述成最大的码元速率，也就是Symbol Rate。
以上图为例，我们用一个绿色方框代表一个符号Symbol，上图红色波形包含四种电平，而蓝色波形包含两种波形，如果我们定义一个符号Symbol包含的电平数量有K个，则其包含的信息量就是log2K,则奈奎斯特带宽可表示为
C=2W*log2K
接下来我们假定信号的功率是S，则信号的最大电压是√S；噪声功率是N，则高斯白噪声的最大电压是√N，则最终实际电压的最大值是√S+N，K取最大值是当把噪声电压作为电平区间的时候，此时 K=√(S+N)/ √N
带回奈奎斯特带宽，得到：
C=2W*log2√(S+N)/ √N
=2W*1/2* log2(S+N)/ N
=2W*1/2* log2（1+S/ N）
=W log2(1+S/N)
即香农公式
小组成员：P02114087许涛
P02114084赵守晨
P02114083陈镜丞
P02114086万也
、 P02114080强华
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