高数_第3章重积分_在极坐标下计算二重积分

一在极坐标定下限，上限是怎么确定的？

注意：极坐标下不需要交换积分次序

1. 在计算极坐标的重积分是，都是写成

∫dθ ∫f(x,y) rdr 形式，就是说dθ 写在前面

2. 由二重积分的定义，可得出极坐标下的二重积分为

也就是说，在极坐标下，被积函数中的x, y分别用 x = rcosθ, y= rsinθ 去代换，将dσ用dσ=rdrdθ去代换。

3. 接下来看例题

例1：计算二重积分 , 其中D为圆x² + y² = 1及 x² + y² = 4与直线y=x, y=0所围的第一象限的区域。

解：将极坐标变换 x = rcosθ, y=rsinθ 代入到边界方程中去，边界 x² + y² = 1及 x² + y² =4在极坐标下的方程分别为 r=1 和 r=2,

它们依次是近边界和远边界，直线y=x 转变为rsinθ = rcosθ, 则 rsinθ/rcosθ = tanθ = 1, 所以θ =

π/4;

直线y=0即为rsinθ = 0, 所以θ =0。

沿着与x轴的夹角为θ的射线，从近边界r=1出发的箭头穿过积分区域指向远边界r=2, 且当

θ从0到 π/4时， 这此箭头扫过了整个积分区域，如图3-26. 于是在极坐标下，

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

接下来，我们看一个例题

解：积分区域D如图3-17所示

二. 如果积分区域D 由圆或者 f(x, y)有 x² + y ² , 可以用极坐标来计算重积分

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