「JOISC 2014 Day4」挂饰（背包DP）题解

题目翻译

JOI 君有 n n n 个装在手机上的挂饰，编号为 1 … n 1 \ldots n 1…n。 JOI 君可以将其中一些挂饰装在手机上。
JOI 君的挂饰有一些与众不同——其中的一些挂饰附有挂钩，你可以将其他挂饰挂在挂钩上。 i i i 号挂饰有 A i A_i Ai 个挂钩。每个挂件要么直接挂在手机上，要么挂在其他挂件的挂钩上。直接挂在手机上的挂件最多有 1 1 1 个。
此外，每个挂件有一个安装时会获得的喜悦值，用一个整数来表示。如果 JOI 君很讨厌某个挂饰，那么这个挂饰的喜悦值就是一个负数。
JOI 君想要最大化所有挂饰的喜悦值之和。注意不必要将所有的挂钩都挂上挂饰，而且一个都不挂也是可以的。

输入格式

第一行一个整数 n n n，代表挂饰的个数。
接下来 n n n行，第 i i i 行有两个空格分隔的整数 A i A_i Ai 和 B i B_i Bi，表示挂饰 i i i 有 A i A_i Ai 个挂钩，安装后会获得 B i B_i Bi 的喜悦值。

输出格式

输出一行，一个整数，表示手机上连接的挂饰总和的最大值。

样例

样例输入

样例输出

样例说明

挂饰 2 2 2 直接挂在手机上，然后将挂饰 1 1 1 和挂饰 5 5 5 分别挂在挂饰 2 2 2 的两个挂钩上，可以获得最大喜悦值 4 − 2 + 3 = 5 4-2+3=5 4−2+3=5。

分析

首先，这显然是一道01背包问题。定义 d p [ i ] dp[i] dp[i] 为剩余挂饰 i i i 个能获得的最大价值。容易写出 O ( n m ) O(nm) O(nm) 的01板子，可这样会TLE。
不妨设想一下，对于第 i i i 个挂饰，如果之前有超过 n n n 个剩余挂钩，那么就算不用这个挂饰的挂钩，也不影响最后答案。
这样的话，第二重循环便只用循环到 n n n ，时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
这里还需要注意两个细节：
1.若 α \alpha α 比 β \beta β 喜悦值大，比 β \beta β挂钩少，若选 β \beta β 是正解，如果 α \alpha α 在 β \beta β 前面，我们选的会是 α \alpha α，如果 β \beta β 在 α \alpha α 前面，则不影响答案。
所以这里要用贪心的思想，将挂钩多的挂饰放在前面处理。
2.第二重循环为什么一个正序一个逆序，这个希望读者自行思考。（提示：一维数组01背包的性质）

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <climits>
using namespace std;
const int MAXN = 2005, inn = INT_MIN;
struct Node {int A, B;
}arr[MAXN * MAXN];
int dp[MAXN];
bool vis[MAXN];
bool cmp(Node x, Node y) {return x.A > y.A;
}
int main() {int n, maxx = 0;scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; i ++) {scanf("%d%d", &arr[i].A, &arr[i].B);}sort(arr + 1, arr + 1 + n, cmp);//贪心 for(int i = 1; i <= n; i ++) dp[i] = inn;dp[1] = 0; vis[1] = 1;for(int i = 1; i <= n; i ++) {//01背包 if(arr[i].A > 0) {for(int j = n; j >= 1; j --) { if(!vis[j]) continue;vis[min(j - 1 + arr[i].A, n)] |= vis[j];dp[min(j - 1 + arr[i].A, n)] = max(dp[min(j - 1 + arr[i].A, n)], dp[j] + arr[i].B);}}else {for(int j = 1; j <= n; j ++) {if(!vis[j]) continue;vis[min(j - 1 + arr[i].A, n)] |= vis[j];dp[min(j - 1 + arr[i].A, n)] = max(dp[min(j - 1 + arr[i].A, n)], dp[j] + arr[i].B);}}}for(int i = 0; i <= n; i ++) {maxx = max(maxx, dp[i]);}printf("%d", maxx);return 0;
}