校验码——奇偶校验码详解，码距，例题

校验码——码距 https://blog.csdn.net/weixin_44330072/article/details/106860286

校验码——海明码及码距 https://blog.csdn.net/weixin_44330072/article/details/106695425

校验码——CRC循环冗余校验码 https://blog.csdn.net/weixin_44330072/article/details/106859961

其实校验码就是在码距的原理上产生的，码距越大校验能力，纠错能力越强，所以奇偶校验码、海明码、CRC码究其原理都是利用一系列规则提升一段码字的码距而已。

一、奇偶校验码

奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。例如，单个的奇偶校验将使码的最小距离由一增加到二。
一个二进制码字，如果它的码元有奇数个1，就称为具有奇性。例如，码字“10110101”有五个1，因此，这个码字具有奇性。同样，偶性码字具有偶数个1。注意奇性检测等效于所有码元的模二加，并能够由所有码元的异或运算来确定。对于一个n位字，奇性由下式给出：

奇性 = $a_{0}$ ⊕ $a_{1}$ ⊕ $a_{2}$ ⊕ … ⊕ $a_{n}$

奇偶校验可描述为：给每一个码字加一个校验位，用它来构成奇性或偶性校验。例如，在图2 中，就是这样做的。可以看出，附加码元d2，是简单地用来使每个字成为偶性的。因此，若有一个码元是错的，就可以分辨得出，因为奇偶校验将成为奇性。奇偶校验编码通过增加一位校验位来使编码中1个个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从而使码距变为2。因为其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能发现偶数位错误。

再以数字0的七位ASCII码（0110000）为例，如果传送后右边第一位出错，0变成 1。接收端还认为是一个合法的代码0110001（数字1的ASCII码）。若在最左边加一位奇校验位，编码变为10110000，如果传送后右边第一位出错，则变成10110001，1的个数变成偶数，就不是合法的奇校验码了。但若有两位（假设是第1、2位）出错就变成10110011，1的个数为5，还是奇数。接收端还认为是一个合法的代码（数字3的ASCII码）。所以奇偶校验不能发现。

奇偶校验位可由硬件电路（异或门）或软件产生：
偶校验位 $a_{n}$ = $a_{0}$ ⊕ $a_{1}$ ⊕ $a_{2}$ ⊕ … ⊕ $a_{n-1}$ ，奇校验位 $a_{n}$ =NOT（ $a_{0}$ ⊕ $a_{1}$ ⊕ $a_{2}$ ⊕ … ⊕ $a_{n-1}$ ）。

在一个典型系统里，在传输以前，由奇偶发生器把奇偶校验位加到每个字中。原有信息中的数字在接收机中被检测，如果没有出现正确的奇、偶性，这个信息标定为错误的，这个系统将把错误的字抛掉或者请求重发。

在实际工作中还经常采用纵横都加校验奇偶校验位的编码系统--分组奇偶校验码。

现在考虑一个系统，它传输若干个长度为m位的信息。如果把这些信息都编成每组n个信息的分组，则在这些不同的信息间，也如对单个信息一样，能够作奇偶校验。图4中n个信息的一个分组排列成矩形式样，并以横向奇偶（HP）及纵向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验位。
m位数字、横向奇偶位、n个码字

$a_{1}$	$a_{2}$	...	$a_{m-1}$	$a_{m}$	$HP_{1}$
$b_{1}$	$b_{2}$	...	$b_{m-1}$	$b_{m}$	$HP_{2}$
$c_{1}$	$c_{2}$	...	$c_{m-1}$	$c_{m}$	$HP_{3}$
...	...	...	...	...	...
$n_{1}$	$n_{2}$	...	$n_{m-1}$	$n_{m}$	$HP_{n}$
$VP_{1}$	$VP_{2}$	...	$VP_{m-1}$	$VP_{m}$	$HP_{n+1}$

纵向奇偶位
图 4 用综横奇偶校验的分组奇偶校验码

研究图4可知：分组奇偶校验码不仅能检测许多形式的错误。并且在给定的行或列中产生孤立的错误时，还可对该错误进行纠正。
在初级程序员试题中（早期也出现在程序员试题中），经常有综横奇偶校验的题目。一般解法应该是这样：先找一行或一列已知数据完整的，确定出该行（或列）是奇校验还是偶校验。并假设行与列都采用同一种校验（这个假设是否正确，在全部做完后可以得到验证）。然后找只有一个未知数的行或列，根据校验性质确定该未知数，这样不断做下去，就能求出所有未知数。

【例】2001年初级程序员试题
由 6 个字符的 7 位 ASCII 编码排列，再加上水平垂直奇偶校验位构成下列矩阵（最后一列为水平奇偶校验位，最后一行为垂直奇偶校验位）:

字符	7位ASCII码							HP
3	0	$X_{1}$	$X_{2}$	0	0	1	1	0
$Y_{1}$	1	0	0	1	0	0	$X_{3}$	1
+	$X_{4}$	1	0	1	0	1	1	0
$Y_{2}$	0	1	$X_{5}$	$X_{6}$	1	1	1	1
D	1	0	0	$X_{7}$	1	0	$X_{8}$	0
=	0	$X_{9}$	1	1	1	$X_{10}$	1	1
VP	0	0	1	1	1	$X_{11}$	1	$X_{12}$

则 $X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}$ 处的比特分别为 __(36)__ ；
$X_{5}X_{6}X_{7}X_{8}$ 处的比特分别为 __(37)__ ；
$X_{9}X_{10}X_{11}X_{12}$ 处的比特分别为 __(38)__ ； $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 处的字符分别为 __(39)__ 和 __(40)__ 。

[解]

从ASCII码左起第5列可知垂直为偶校验。则：
从第1列可知 $X_{4}$ =0；从第3行可知水平也是偶校验。
从第2行可知 $X_{3}$ =1；从第7列可知 $X_{8}$ =0；从第8列可知 $X_{12}$ =1；
从第7行可知 $X_{11}$ =1；从第6列可知 $X_{10}$ =0；从第6行可知 $X_{9}$ =1；从第2列可知 $X_{1}$ =1；
从第1行可知 $X_{2}$ =1；从第3列可知 $X_{5}$ =1；从第4行可知 $X_{6}$ =0；
从第4列（或第5行）可知 $X_{7}$ =0；整理一下：
(36) $X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}$ = 1110
(37) $X_{5}X_{6}X_{7}X_{8}$ = 1000
(38) $X_{9}X_{10}X_{11}X_{12}$ = 1011
(39) 由字符 $Y_{1}$ 的ASCII码1001001=49H知道， $Y_{1}$ 即是“I”（由“D”的ASCII码是1000100=44H推得）
(40) 由字符 $Y_{2}$ 的ASCII码0110111=37H知道， $Y_{2}$ 即是“7”（由“3”的ASCII码是0110011=33H推得）
假如你能记住“0”的ASCII码是0110000=30H；“A”的ASCII码是1000001=41H，则解起来就更方便了。

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