所有的多面体都是凸集

凸优化中多面体的定义

P={x|aTix≤bi,i=1,2,⋯,m,cTjx=dj,j=1,2,⋯,p}

\begin{align} \mathcal{P}=\left\{{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{a}_i^T\boldsymbol{x}\leq b_i, i=1,2,\cdots, m, \boldsymbol{c}_j^T\boldsymbol{x}=d_j, j=1,2,\cdots,p}\right\} \end{align}
以下分为三个步骤进行证明：
(a) 证明：若 {Ωα}(α∈I) \left\{{\Omega_{\alpha}}\right\} (\alpha \in I) 是 Rn \mathbb{R}^n空间中的凸集的集合. 则 ⋂α∈IΩα \bigcap_{\alpha \in I}\Omega_{\alpha} 也是凸集.

证: 设任意 x1,x2∈⋂α∈IΩα x_1,x_2\in \bigcap_{\alpha\in I}\Omega_{\alpha}. 那么对于任意 α∈I \alpha\in I，都有 x1,x2∈Ωα x_1,x_2\in \Omega_{\alpha} . 由于 Ωα \Omega_{\alpha}是凸集，因此 θx1+(1−θ)x2∈Ωα (α∈I) \theta x_1+(1-\theta)x_2\in \Omega_{\alpha} \ (\alpha\in \boldsymbol{I}) 对于任意的 θ∈(0,1) \theta\in (0,1) 都成立，即， θx1+(1−θ)x2∈⋂α∈IΩα \theta x_1+(1-\theta)x_2\in \bigcap_{\alpha\in I}{\Omega_{\alpha}}，即 ⋂α∈IΩα \bigcap_{\alpha \in I}\Omega_{\alpha} 是凸集.

(b) 证明：超平面和半空间是凸集
超平面和半空间的定义如下：

Hyperplanes:{x|aTx=b}Halfspaces:{x|aTx≤b}

\begin{equation} \text{Hyperplanes}: \left\{{x|a^Tx=b}\right\} \quad \text{Halfspaces}: \left\{{x|a^Tx\leq b}\right\} \end{equation}
证: 假设 x1,x2∈Ω x_1,x_2\in \Omega, 并且 aTx1=b,aTx2=b a^Tx_1=b, a^Tx_2=b. 我们可以得到

aT(θx1+(1−θ)x2)=θaTx1+(1−θ)aTx2=b

\begin{equation} a^T(\theta x_1+(1-\theta)x_2)=\theta a^T x_1+(1-\theta)a^Tx_2=b \end{equation}
即, (θx1+(1−θ)x2)∈Ω (\theta x_1+(1-\theta)x_2)\in \Omega. 类似的，我们也可以得到半空间也是凸集。

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