矩阵低秩张量分解_【线性代数】张量-张量的计算

本来吧，觉得张量这个东西稍微混一混假装知道个大概就行了。昨天拿到角动量那一章的讲义以后我发现事情并没有那么简单……总而言之，欠下的东西早晚要还的……碎碎念到此结束，进入正题。张量专题初步计划是分三个板块，也许是五个板块？这坑不小，慢慢填吧。

张量的概念

简单地说，张量是一个多重线性映射：

给定一个域

及

上的向量空间

，

是

的共轭空间

^[1]，

，

是

重空间

和

重空间

的笛卡尔积，所有的

重线性映射

称为

上的

型，

价（或秩）的

张量。同样，也说

是一个

次共变且

次反变的

混合张量。当

时，说

是

反变的；当

是，说

是

共变的。

特别地，

型张量就是通常的

上的线性函数，也就是

中的一个元素；而

型张量就是

上的一个线性映射，即

上的元素。由于

有限维空间的自反性，在

和

之间存在一个自然同构，使得

与某个向量

等同起来。这个等同可以在线性函数的记法

下实现。当

固定时，这是

上的一个线性映射；当

固定时，它就是

上的一个线性映射。换言之，

型张量可以认为是一个向量，即

中的元素。

对一个最简单的混合张量——

型张量是很有分析的必要的。按定义，

是一个对

和

都有线性的映射。对任何固定的

，映射对

是线性的，所以能够找到

，使得

不难证明

是

上的线性算子。反过来，

，依照

建立映射

，它对

和

都是线性的。因此，

是一个双射。所以每个

型张量都

唯一对应

上的一个线性算子。

还要约定

型张量是一个纯量，即

上的元素。

上所有

型张量的集合

构成一个向量空间。事实上，如果

且

，那么自然可以将

理解为一个张量，它由公式

定义。

张量的乘积

首先，设

是任意的多线性型。这意味着

是相互之间没有任何关系的向量空间。

把

和

的张量积理解为映射

它由公式

定义。这里要注意，变量

和变量

是没有关系的。

比如

上的线性算子

和

，

。显然，张量积没有交换性：

但是（不难验证）它具有结合性：

现在设

是

型张量，

是

型张量，那么

就是在笛卡尔积

上的多线性映射。把这个笛卡尔积与

等同起来。对所有的

，定义

上述定义的

作为张量

和张量

的

（张量）乘积。后面（依照惯例）省略用来区别不同变量类型的分号，需注意。

不难验证张量积具有分配性：

张量的坐标

从上一节对张量以及张量乘积的定义中我们应当意识到区分

和

中元素的必要性。按照经典的观念，张量分析开始于在

中选择基底，并用自己的坐标去刻画张量。通常，在

和

中选择

相互对偶的基底

这种上下指标的表示是自然的，同时需要（在明确的前提下）注意上指标和指数的区别，在张量分析里这个混淆不太可能出现。

设

注意到

为了引入对称性，（通常）使用哑指标这个概念。所以一些经常接触张量的人会默认逐次求和从而忽略求和号（爱因斯坦约定）。在这里我们不赞成这个约定，不过可以约定不同指标的求和可以用一个求和号来写

求和上下限通常可以经过上下文确定。

设给定一个

型张量

，它的值可以表达成

称数

是张量

在基

下的

坐标（系数，分量）。

让我们赋予上述定义惯用的思想，在

型张量的空间

本身中选择一个适当的基，即考察一个

可分解的

型张量（不难证明，对不同的配套指标

，这种分解得到的张量是线性无关的）

并且，将

与

上的线性映射

等同起来，因为

，所以

构成张量

所以

这恰好是张量

的坐标，但是注意到张量的坐标是唯一的，这是因为根据它的多重线性，对任意向量

以及线性映射

所以

如果张量

和张量

的坐标重合，那么张量本身就应该重合，即

特别的，每个双线性型都应该形如

总而言之，上述命题可以总结为

上的

型张量构成一个

维的向量空间

，它以

构成一个基，其中

是空间

的一个基，

是

的基（空间

的对偶基）。

存在且唯一地存在一个张量，它具有预先给定地坐标

。

不同坐标系中的张量

类似于线性算子在不同基下的表示，张量在不同的基下也有坐标。这一节我们来看张量在向新的基转化时坐标的变化。设

是空间

的另外一个基，且有对偶基

。

是

向

的过度矩阵，其中上指标是行数，下指标是列数，按照规则

规定。同时有

向

的过度矩阵

同时引入一个辅助矩阵

那么

因此，

由于

，因此由

向

的过度矩阵就是

，称为

的转置逆矩阵。

现在来求张量

在基

下的坐标

：

现在，我们可以对张量的定义换一种说法。所谓

上的

型张量

，是与空间的每一个基底联系在一起的一组

个纯量

，使得在不同基底下对应的数组按照上述坐标变换公式联系起来。

空间的张量积

这一块内容在高等代数和物理上都有非常深刻的应用，比如群的表示理论和角动量的耦合理论。更一般的形式在高等代数中再引入（日常挖坑），这里只构造向量空间的张量积。

设

是域

上的向量空间，那么存在

上的一个向量空间

和一个双线性映射

，满足

如果

是线性无关的，且

，那么

如果

是线性无关的，且

，那么

是满射，即

此外，对于

在如下意义下是具有泛性的：如果任意一个向量空间

和任意一个双线性映射

作成对

，那么存在唯一的线性映射

使得

，有

这个定理的证明就不写（chao）了，我们主要是理清数学脉络（方便学习量子力学啊喂），具体细节都是书上有的，感兴趣可以自己翻阅（这个理由还可以吧？）。

称给定的空间

唯一确定的（精确到同构）对

是这两个

向量空间的张量乘积。

记

，简记为

。如下条件（不难发现）是满足的

同时，双射

，

建立起向量空间之间的同构

上述同构称为自然同构（标准同构）。同时，分配律也是满足的

为了直观地研究结构，将向量空间的线性算子联系在一起是自然的

设

，称线性算子

是算子

的张量积，按照规则

起作用。

不难验证这些性质是满足的

设

那么在基

下，算子

的矩阵是

维的

记

那么

写成矩阵的形式

，

对于迹，

对于行列式，

这两个公式在后面群的表示论中会经常使用。

参考

^共轭（对偶）空间的概念见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/194167945